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DM sur les limites
Bonjour à tous,
c'est la rentrée et j'ai déjà un DM 
lol, bref j'aurais besoin d'un peu d'aide car il y a des choses que j'ai un peu oubliées donc bon, je suis pas très sûr de moi!
Soit f la fonction définie par f(x)= (x^3-2x²)/(x-1)².
1)Déterminer les réels a,b et c tels que pour tout x de R privé de 1, f(x) = ax + (b)/(x-1) + (c)/(x-1)²
Alors j'ai trouvé a=1, b=-1 et c=-1, dc pour tout x de Df, f(x)=x + -1/(x-1) + (-1)/(x-1)².
2)Déterminer les limites de f aux bornes de Df et en déduire les asymptotes éventuelles à Cf.
Alors bizzaremment, c'est là que je suis moins sûr de moi, notamment pour la rédaction!
J'ai fait :
lim f(x) qd x tend vers -inf = x^3-2x²/(x-1)²
= ( x(1-(2/x)) )/ ( 1-(2/x)+(1/x²) )
= -inf
et de même quand ça tend vers +inf et j'ai trouvé comme résultat +inf pour la limite.
Pour la limite de f(x) quand x tend vers 1 et que x<1, cela donne :
lim (x^3-2x²)/(x-1)², donc la limite est -1/(zéro moins) donc ça donne + inf. Ais-je raison?
Pour la limite de f(x) quand x tend vers 1 et que x>1, cela donne une limite de -1/(zéro +) donc ça donne -inf.
Est-ce bon?
Et donc la Cf admet pour asymptote verticale la droited'équation x=1.
oui tu as tout à fait raison. 2 autres élèves de ta classe ont posés les mêmes questions, regarde un ou 2 topic plus bas^^.
Ah oui je crois voir qui c'est lol..
Mais il faut chercher la limite pr x>1 et pour x<1, non?
J'ai l'impression qu'ils n'ont pas fait ça mais juste pour x qui tend vers 1!
Bref merci de m'avoir rassuré :d!
J'ai une question qui elle par contre me dérange vraiment :
4) Démontrer que la dérivée de f est f'(x)= (x^3-3x²+4x)/(x-1)^3.
J'ai calculé la dérivée et je trouve
3x²-4x/ (2x-2)
...
Merci d'avance!
oui il faut calculer les limites en 1- et en 1+, tu as parfaitement raison, ils ont pris des raccourcis, mais l'asymptote au final c'est la même^^.
effectivement ta dérivée n'a rien à voir. si u as peur de te perdre dans les calculs, part de la forme simplifiée (celle qui n'est pas sous form de fraction) et mets tout au même dénomianteur après^^.
Pas d'accord avec les limites en 1 : le dénominateur est (x-1)², donc que x tende vers 1 par valeurs supérieures ou inférieures à 1 ne change rien, le dénominateur tend vers 0+ (c'est un carré !) 
D'accord!
Donc pour la limite de f(x) quand x tend vers 1 et que x est plus petit que 1, c'est bien + infini!
Et quand x est plus grand que 1, c'est bien - infini?
Parce que les gens de ma classe me disent que c'est le contraire...lol
Ah okay Little Guy!
C'est bien ça qui me faisait hésiter car la courbe ne me donnait pas ça!
Donc je n'ai pas besoin de préciser superieur ou égal à 1 vu qu'on a un carré!
C'est quand même important de préciser ou pas?
Okay merci Ragadorn!
Pour la dérivée, j'ai pris l'expression de f(x) où j'ai dû trouver les termes et donc la dérivée me donne :
f'(x) = (3x²-4x)(x²-2x+1)-(x^3-2x²)(2x-2) / (x-1)^4
Mais bon au finale je trouve pas comme dans l'énoncé.
Vous pouvez me dire là où je me trompe s'il vous plaît?
Je pense avoir pris la bonne expression pourtant mais peut-être que j'ai mal utilisé les formules sur les dérivées...
Ah finalement j'ai trouvé!
je dois maintenant étudier les variations de f!
Pour ça, il vaut mieux prendre sous cette forme non :
x(x²-3x+4) / (x-1)^3
J'ai finalement trouvé les variations de f avec cette forme dite précedemment.
J'ai trouvé que f est croissante sur ]-inf;0[, puis décroissante sur ]0;1[ puis croissante sur ]1;+inf[ !
Ensuite :
6) Déterminer l'équation de la tangente T à Cf, parallèle à la droite Delta.
Alors voici mon début de réponse:
T a une équation du type
y=f'(a)x(x-a)+f(a)
or T//Delta dc ils sont le même coef directeur donc l'équation devient :
y=x+f(a)
Mais f(a), je suis censé le trouver ou je peux laisser sous cette forme?
Qui es "Delta" ? Si c'est la droite d'équation y = x, alors résous d'abord f '(x) = 1 pour trouver l'abscisse a du point de contact.
La droite Delta a pour coefficient directeur 1 ; on cherche une tangente à (C) parallèle à Delta, donc de coefficient directeur 1.
L'abscisse du point de contact éventuel doit alors être solution de l'équation f '(x) = 1 (nombre dérivé = coeff directeur de tangente)
Sûr du x=1 ?
Okay j'ai compris, c'est vrai que j'avais zappé cette fonction du nombre dérivé!
Mais pour le f'(x)=1, ça n'existe pas! je n'arrive pas à le trouver!
Oui mais en fait je ne peux pas développer (x-1)^3, c'est là où je ne suis plus!
Effectivement il y a une solution ..
Okay donc mon équation devient :
x(x²-3x+4)=(x-1)²(x-1)
je vais essayer de résoudre et je vous dis ma réponse après, encore merci de prendre du temps pour m'aider
Alors je trouve -3x²+x+1=0, donc je peux chercher le discriminant qui me donne 13.
Et je trouve deux solutions :
1+racine de 13 / 6
1-racine de 13 / 6
:s..
Non, ce n'est pas cohérent avec ce qui a été dit auparavant : puisque f ' (-1) = 1, la tangente au point d'abscisse -1 a une équation de la forme y=x+p
on reprend tranquillemnt : l'équation de la tangente est de la forme y = x + p
cette tangente passe par le point B de la courbe d'abscisse -1 (son ordonnée est f(-1), à calculer) ; les coordonnées de ce point B doivent donc vérifier l'équation y = x+p : dans cette équation tu remplaces alors x et y par les coordonnées de B et tu en déduis la valeur de p.
Donc l'équation est y=-x+1/4!
Oki, mais j'aimerais quand même comprendre. Le point B est un point inventé d'abscisse -1, c'est le résultat de l'équation!
Mais pourquoi a-t-on cherché à résoudre f'(x)=1???Qu'est-ce qui me l'indiquait dans l'énoncé?
Ah non pardon!
En fait pour moi vu que f'(a)=1, alors a=-1!
Donc y=f'(a)x(x-a)+f(a) me donne une équation qui est
y= x -7/4
y= f'(a)x(x-a)+f(a)
y=f'(-1)x(x-1)+f(-1)
y=1x(x-1)-(3/4)
y=(4x-4-3)/4
y=x-(7/4)
Donc l'équation de la tangente est y= x-(7/4)
C'est bien sa?
Merci de votre aide.
Toto_tom et moi avons encore une dernière question:
Déterminer suivant les valeurs de m, le nombre de solution a l'équation f(x)= x + m.
Doit-on étudier lorsque m < 0 , m = 0 et m > 0 ?
Si oui , faut-il utiliser Delta sur f(x)-x-m = O?
On ne décide pas "a priori" s'il faut étudier les cas m<0, m=0, m>0 ; ce sont les circonstances qui conduisent aux cas à étudier.
S'agit-il s'une discussion graphique ? Si oui, le graphique est explicite ; sinon il faut effectivement examiner l'équation f(x) = x+m (mais encore une fois, a priori, on ne sait pas si un discriminant sera nécessaire ; c'est l'examen de l'équation qui le dira)
Après avoir examiner l'équation je trouve
-mx²+mx-m / (x-1)²= 0
En appliquant Delta j'obtient:
Delta = m²-4x(-m)x(-m)
Delta = m²-4m²
Delta = -3m²
Est-ce-bon pour le moment?
Je ne trouve pas la même équation ; de toute façon, compte tenu du graphique (voir avant-hier 23:29) et de ton résultat de 14:07 aujourd'hui, m=1/4 doit vraisemblablement avoir une importance dans la conclusion 
Donc :
m=1/4, l'équation a une unique solution
m<1/4, l'équation a deux solutions
m>1/4, l'équation n'a pas de solutions
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