Bonjour à tous,
L'exercice que j'ai à faire sur les fonctions exp et ln me pose quelques problèmes à partir de la question 4 :

On considère la fonction f sur R par: f(x) = (1/2)exp(2x)(1-x) . On note (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i;j).

1) Déterminer les limites de f en +inf et -inf (pour la limite en -inf, on pourra vérifier que pour tout x, f(x) = (1/2)exp(2x) - (1/2)(xexp(x))exp(x)).
Calculer f'(x) et étudiez son signe sur R, puis dressez le tableau de variations de f.

2) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en son point d'abscisse nulle. Construire alors (T) et (C) dans le répère.

3) Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = (1/2)exp(-2x)(1+x) et (Tau) sa courbe dans le repère.
Calculer g(-x) et en déduire la transformation géométrique qui permet de construire (Tau) connaissant (C). Tracer (Tau).

4) On se propose alors de détérminer le point d'intersection de (C) et (Tau) dont l'abscisse a est strictement positive.
a) Démontrer que a ne peut pas être supérieur à 1.

b) Soit alors h la fonction définie sur ]0;1[ par
h(x) = -4x + ln((1+x)/(1-x))

Démontrer que a est solution de l'équation h(x)=0.

Etudier les variations de h sur ]0;1[. (On vérifiera que h'(x) = (4x^2-2)/(1-x^2) ) et en déduire que l'équation h(x)=0 a une solution unique qui est comprise entre 0.95 et 0.96 (justifier clairement votre réponse).

c) Conclure