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dm sur vecteur et Al-kashi

Posté par somnambule (invité) 16-04-06 à 19:59

DISTANCE D'1  POINT A UNE DROITE
soit(D) la droite definie par un point A et un vecteur normal n , non nul, et P un point du plan se projetant orthogonalement en k sur (D).
Si (O,i;j) est un repere orthonormal du plan tel que i (vecteur) soit colinbeaire a n(vecteur), alors on peut ecrire : AP(vecteur)=xi(vecteur)+yj(vecteur)

1. justifier que KP=|AP(vecteur).i(vecteur)| pui ke KP= (|AP.N|)/||n|| (tout vecteur.

2.Appliquez ce resultat pour calculer la distance du point P(1,2) à la droite (D) d'equation x+y-5=0


FORMULE DE HéRON

Soit ABC un triangle. on note S son aire et p son demi perimetre :
p= 1/2 (a+b+c)
1. demontrez l'egalité suivante: cos(Â)=(b²+c²-a²)/2bc

2.Verifier que si sin²Â=(1-cosÂ).(1+cosÂ). demontrez alors              :
  sinÂ=(2/bc)(racine carre de p(p-a)(p-b)(p-c)

3. En deduire alors que: S= racine carrée de (p(p-a)(p-b)(p-c))
4.Considerons 2 triangle dt les côtés mesurent 16cm, 17cm et 18 cm pour l'un, et 19cm,31cm et 49 cm pour l'autre, quel est celui qui a la plus grande aire?

Posté par mimick (invité)re : dm sur vecteur et Al-kashi 16-04-06 à 20:20

Un petit bonjour merci ca serait sympa johan mais bon je t'excuse !!

DISTANCE D'UN POINT A UN DROITE

1) D'apres la relation de Chasles :
3$ \vec{AP}=\vec{AK}+\vec{KP}

Or 3$ \vec{AP}=x\vec{i}+y\vec{j}
On sait que K appartient a (D) et P est un point du plan
Donc : 3$ \vec{AK}=y\vec{j} et 3$ \vec{KP}=x\vec{i}

Par conséquent :

3$ \vec{AP}.\vec{i}=(\vec{AK}+\vec{KP}).\vec{i}
3$ \vec{i} est orthogonal a \vec{j}

D'ou

3$ \vec{AP}.\vec{i}=\vec{KP}.\vec{i}
ON sait que \vec{i}(1,0) et que \vec{i} et \vec{KP} sont colinéaires
Une distance est positive : ON a donc :

3$ |\vec{AP}.\vec{i}|=KP\times{||\vec{i}||}
3$ \frac{|\vec{AP}.\vec{i}|}{||\vec{i}||}=KP
3$ \frac{|\vec{AP}.\vec{i}|}{1}=KP

4$\red |\vec{AP}.\vec{i}|=KP



D'apres la relation de Chasles :

3$ \vec{AP}=\vec{AK}+\vec{KP} avec 3$ \vec{AK}=y\vec{j} et 3$ \vec{KP}=x\vec{i}

2$ \vec{n} est colinéaire à 2$ \vec{i}

Il en résulte que

3$ \vec{AP}.\vec{n}=(\vec{AK}+\vec{KP}).\vec{n}
3$ \vec{AP}.\vec{n}=\vec{KP}.\vec{n}

2$ \vec{n} est colinéaire à 2$ \vec{KP}

3$ |\vec{AP}.\vec{n}|=KP\times{||\vec{n}||}

4$\red \frac{|\vec{AP}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=KP

Posté par mimick (invité)re : dm sur vecteur et Al-kashi 16-04-06 à 20:32

2)

3$ KP=\frac{|\vec{AP}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}

3$ KP=\frac{|(\vec{AK}+\vec{KP}).\vec{n}}{||\vec{n}||}
3$ KP=\frac{|\vec{KP}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}

Or x+y-5=0
IL en résulte que 2$ \vec{n}(1,1)

3$ KP=\frac{|(x_p-x_k)\times{1}+(y_p-y_a)\times{1}|}{\sqrt{1^2+1^2}}
3$ KP=\frac{|x_p-x_k+y_p-y_a|}{\sqrt{2}}

Or P(1;2)

Par conséquent

3$ KP=\frac{|1-x_k+2-y_k|}{\sqrt{2}}
3$ KP=\frac{|3-x_k-y_k|}{\sqrt{2}}=\frac{|x_k+y_k-3|}{\sqrt{2}}

Or K appartient a (D)
Donc 3$ x_k+y_k=5

3$ KP=\frac{|5-3|}{\sqrt{2}}
5$\red KP=\frac{2}{\sqrt{2}}

Sauf étourderie

Posté par mimick (invité)re : dm sur vecteur et Al-kashi 16-04-06 à 21:16

Formule d'Héron:

1)
D'apres le théorème d'Al Kashi

a² = b² + c² - 2bc x cos A
-b²-c²+a²=-2bc x  cos A
b²+c²-a²=2bc x cos A
4$\blue \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=cosA

2)

sin²A+cos²A=1
sin²A=1-cos²A
sin²A = (1-cosA)(1+cosA)

Bon alé moi je m'arrete ici pour ce soir a+

Posté par mimick (invité)re : dm sur vecteur et Al-kashi 17-04-06 à 12:32

Re comme promis je continu

2)

°) On sait que 3$ cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Alors 4$ 1-cosA=\frac{\red 2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}

Or 3$ p=\frac{a+b+c}{2}
Donc 3$p-b=\frac{a+c-b}{2} et 3$ p-c=\frac{a+b-c}{2}

D'ou 3$(p-b)(p-c)=(\frac{a+c-b}{2})\times{(\frac{a+b-c}{2})}=\frac{a^2+ab-ac+ac+bc-c^2-ba-b^2+bc}{4}
3$ (p-b)(p-c)=\frac{a^2-c^2-b^2+2bc}{4}

Donc 4(p-b)(p-c)=a²-b²-c²+2bc
C'est a dire que:

3$\red \frac{2(p-a)(p-c)}{bc}=1-cosA


°) 3$\blue 1+cosA=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}
3$ p-a=\frac{b+c-a}{2}

D'ou 3$ p(p-a)=\frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{4}
C'est à dire que:
4$\blue \frac{2p(p-a)}{bc}=1+cosA

Il en résulte que:

2$ sin^2A=(\frac{2p(p-a)}{bc})\times{(\frac{2(p-b)(p-c)}{bc})}
3$ sin^2A=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{(2c)^2}
4$ sinA=\sqrt{\frac{2^2}{(bc)^2}\times{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
5$\green sinA=\frac{2}{bc}\times{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}


3)

3$ sinA=\frac{2}{bc}\times{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
3$ sinA\times{\frac{bc}{2}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
3$ \frac{1}{2}\times{sinA}\times{bc}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
5$\blue S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (Formule d'Héron)

4) Je te laisse la faire c'est une simple application

Désolé d'avoir fais mumuse avec LaTex et les tailles

Alé ++

Mickaël

Posté par somnambule (invité)merci ^^ 17-04-06 à 12:39

un grang mrec a toi Mick ^^ sauveur de la 1erS et maitre de la couleur jaune lol


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