Inscription / Connexion Nouveau Sujet
DM Triplets pythagoriciens
Bonsoir à tous, je bloque sur la troisième partie d'un DM de spe maths portant sur les triplets pythagoriciens. Après avoir créé un tableur sur Excel et émis une conjecture, je dois répondre aux questions suivantes:
---------------------------------------
Un triplet pythagoricien est un triplet (x,y,z) d'entiers naturels non nuls tels que x²+y²=z²
Objectif : Pour tout entier naturel non nul x donné, peut-on trouver y et z tel que (x,y,z) soit un triplet pythagoricien.
1. On cherche à déterminer des triplets tels que z=y+1
a) Montrer que y et z n'ont pas de diviseur commun autre que 1
b) Exprimer x² en fonction de y, puis y et z en fonction de x.
c)En déduire l'existence d'un triplet primitif pour x impair supérieur à 1.
NB : On appelle triplet primitif n triplet (x,y,z) tels que x,y et z n'aient pas de diviseurs communs
2. Soit x un entier naturel supérieur à 2
a) Si x n'est pas une puissance de 2, alors x peut s'écrire sous la forme 2nx avec
impair différent de 1. En déduire un triplet (x,y,z).
b) Si x est une puissance de 2 supérieure à 2, alors x est un multiple de 4. En déduire un triplet (x,y,z).
3. Que peut on conclure sur le problème posé ?
4.Déterminer un triplet pythagoricien pour x=2013 et pour x= 2014
------------------------------
Donc je bloque à partir du 1c, je pense qu'il faut poser x=2k+1 (puisque x est impair) puis démontrer que x et y sont premiers entre eux, comme ça on aura bien prouver l'existence d'un triplet primitif pour tout x impair.
Pour la 2a et b, je me demande si il suffit de remplacer x par 2nx dans les expressions de y et z, ça serai trop simple non?
Merci à tous pour votre aide
Bonjour,
As-tu trouvé y = (x2-1)/2 et z = (x2+1)/2 ?
Si oui, il suffit de montrer que ces valeurs sont entières si x est impair.
Pour primitif, c'est déjà fait avec 1)a).
Je vais regarder la suite.
Si oui, il suffit de montrer que ces valeurs sont entières et non nulles si x est impair supérieur à 1.
Si x est pair, (x2-1)/2 et (x2+1)/2 ne sont pas entiers.
Des pistes :
Pour 2a), commencer par utiliser 1) pour donner un triplet pythagoricien x',y',z' . Tu peux en déduire un autre triplet pythagoricien commençant par x (il ne sera pas primitif).
Pour 2)b), commence par trouver un triplet avec x = 4 . C'était peut-être dans les parties précédentes ?
Sylvieg merci beaucoup, je vais regarder tout ça!
carpediem j'ai déjà vu ce sujet mais je ne comprends pas les réponses de Chatof, elles font parfois appel à des notions que nous n'avons pas encore vues en cours donc je ne peux pas les utiliser ici...
D'après a) y et z n'ont pas de diviseurs communs autre que 1.
Donc x, y et z n'ont pas de diviseurs communs autre que 1.
Ah désolé je me suis trompée, c'est parce que il y avait une autre discussion sur ce dm ici: 
Triplet de Pythagore
J'ai demandé sur le forum maths-forum mais je n'ai pas eu de réponses qui m'aidaient, donc je suis venue ici...
Sylvieg: je suis désolée de vous harceler ainsi mais je ne comprends toujours pas...
z et y n'ont pas de diviseurs autre que 1, d'accord. Donc je veux montrer que x et y et que x et z sont également premiers entre eux.
Mais comment le fait qu'ils soient entiers le montre?
tels que x,y et z n'aient pas de diviseurs communs
Pour moi, cela signifie : pas de diviseurs communs aux trois.
Cela dit, il manque " autre que 1 ".
Je réponds pour (2nx; (2n+2x
- 1 )/ 2 ; (2n+2x
+ 1 )/ 2)
pourquoi du n+2 en exposant ? Une fois trouvé (x',y',z') , il suffit de tout multiplier par 2n .
Pour l'histoire de pas de diviseurs communs dans la question 1), x et x2+1 n'ont pas de diviseurs communs autres que 1 ; idem avec x2-1 .
Annuler
connectez vous