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Domaine de définition d'une fonction rationnelle
Bonjour à tous.
J'ai une question :
F(x)=P(x)/Q(x) est une fonction rationnelle et P et Q des polynômes sur 
telles que P(a)=Q(a)=0
alors P(x)=(x-a)P2(x) et Q(x)=(x-a)Q2(x) avec Q2 et P2 des polynômes sur . On suppose Q2(a) 
0.
On obtient donc F(x)=P2(x)/Q2(x)=F2(x) mais seulement pour x a.
Q2(a) 0 donc F2(x) est bien définie en a.
Ma question est : est-ce-que F(x) est définie en a ?
Je dirais que non car l'égalité F(x)=F2(x) n'est pas vraie pour x=a. On peut seulement dire que F(x) est continument prolongeable en a. C'est cela ?
J'espère avoir été clair, merci de m'avoir lu et bonne soirée!
Bonsoir.
Ton raisonnement est correct. Il faut attribuer une valeur de continuité à F en a en posant :
F(a) = F2(a)
On sait que F est une fraction rationnelle et non une fonction quelconque, donc on peut vraiment dire que la fonction est définie en a. En effet, a n'est pas un pôle de la fraction rationnelle.
Bonsoir bencteux
Le point a est une singularité "effaçable" pour F.
Il n'en est pas moins vrai qu'il faut préciser F(a).
Bonsoir raymond,
désolé d'insister mais je viens de reprendre certains classique du premier cycle (Ramis par exemple) et de vérifier qu'une fonction rationnelle est définie à partir d'un représentant irréductible de la fraction rationnelle associée. Donc si a est racine simple du numérateur et du dénominateur, le facteur X-a disparait dans le représentant irréductible.
Qu'en penses tu ?
Merci
Guy
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