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Double intégrale

Posté par
TheDoci 27-01-09 à 23:49

Bonjour,

Je viens vous demander un peu d'aide pour un des exos que j'essaie de refaire avant mes partiels

Voici le sujet :
Calculer l'intégrale double 3$I = \int \int_{D} x\sqrt{x^2 + y^2} dxdy
où D est donné par 3$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \ge 0, y \ge 0, x^2 + y^2 \le 1 \}

J'ai fait ceci :
4$I = \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} x\sqrt{x^2 + y^2} dxdy

4$I = \int_0^1 (\[\frac{x^2\sqrt{x^2 + y^2}}{2}\]_0^{\sqrt{1-x^2}} - \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac{x^2}{2} \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2}}dy ) dx

4$I = \int_0^1 (\frac{x^2}{2} - \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac{x^3}{2\sqrt{x^2 + y^2}} dy) dx

4$I = \int_0^1 (\frac{x^2}{2} - \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac{x^3}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} dy) dx


Il faudrait peut-être faire une 2ème IPP, mais je vous avoue qu'à chaque fois que je fais une IPP j'ai l'impression de tourner en rond parce que je ne tombe pas sur quelque chose de plus simple, après des tonnes de calculs.

Pouvez-vous m'aider à corriger / terminer ce que j'ai fait svp ?

Posté par
Nightmarere : Double intégrale 27-01-09 à 23:52

Salut

En fait ce que tu as écrit n'a pas vraiment de sens, ce serait plutôt 3$\rm \Bigint_{0}^{1} \Bigint_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} x\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy !

Cependant je crois que ce serait plus simple ici de passer en polaire non?

Posté par
Nightmarere : Double intégrale 27-01-09 à 23:54

Pardon, ce n'est pas ce que je voulais écrire, plutôt :
3$\rm \Bigint_{0}^{1} \Bigint_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x\sqrt{x^{2}+y^{2}}dydx

Posté par
TheDocire : Double intégrale 27-01-09 à 23:56

Je me rappelle plus, la première intégrale concerne x ou y ?
J'ai toujours eu un doute

Je vais passer en polaire voir ce que je peux faire


Après ton 2ème message :
J'ai le droit de bouger les dx et dy comme je veux ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Double intégrale 27-01-09 à 23:56

Salut Nightmare ! Ta première idée était la bonne

Posté par
Nightmarere : Double intégrale 28-01-09 à 00:06

Salut Elhor ! Effectivement c'était la première, décidément !

TheDoci > Un passage en polaire est beaucoup plus simple ici !

Non on ne peut pas permuter dx et dy comme on veut, il faut le justifier.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Double intégrale 28-01-09 à 00:14

Pas besoin de passer en polaire car , sauf erreur , la forme x\sqrt{x^2+y^2}dx s'intégre facilement non 4$?

Posté par
Nightmarere : Double intégrale 28-01-09 à 00:15

Oui Elhor mais l'intégrale qu'il reste en y est un peu plus délicate à calculer non?

Posté par
TheDocire : Double intégrale 28-01-09 à 00:16

Je suis en train d'essayer de passer en polaire, mais je débute seulement donc je ne poste pas^^

2 petites questions :
1) Comment savez-vous quand c'est bien de passer en polaire ?
2) comment intègres-tu x\sqrt{x^2+y^2}dx elhor_abdelali ? J'ai galéré dans les calculs que j'ai fait dans mon 1er post

Posté par
Nightmarere : Double intégrale 28-01-09 à 00:18

1) Ici la tête du domaine (demi-disque) et la présence du x²+y² amène automatiquement à penser au passage en polaire !

2) Remarque que 3$\rm \frac{d}{dx} (x^{2}+y^{2})=2x

Posté par
TheDocire : Double intégrale 28-01-09 à 00:25

ok merci

Par contre je comprends bien que la primitive de x²+y² soit 2x, mais x\sqrt{x^2+y^2}dx est un produit, donc j'imagine que la primitive de cette fonction n'est pas la primitive de x multiplié par la primitive de \sqrt{x^2+y^2}dx
Je rame toujours pour calculer des primitives, c'est assez incroyable^^

Posté par
Nightmarere : Double intégrale 28-01-09 à 00:30

Déjà, on va éviter de parler de la primitive sinon on risque de se fâcher

Ensuite, rappelons que 3$\rm \sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}, reconnais donc la forme 3$\rm nu'u^{n-1} qui s'intègre en 3$\rm u^{n}+C

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Double intégrale 28-01-09 à 00:42

Je ne crois pas Nightmare ! En tout cas moi je trouve une valeur de 3$\blue\fbox{\frac{1}{4}} pour cette double intégrale sauf erreur bien entendu

Posté par
TheDocire : Double intégrale 28-01-09 à 01:00

J'ai essayé de passer en polaire, mais je bloque là aussi

3$I = \Bigint_0^1 \Bigint_0^{\sqrt{1-\rho(\theta)^2 sin^2(\theta)}} \rho(\theta) cos(\theta) \sqrt{\rho(\theta)^2 cos^2(\theta) + \rho(\theta)^2 sin^2(\theta)}

3$I = \Bigint_0^1 \Bigint_0^{\sqrt{1-\rho(\theta)^2 sin^2(\theta)}} \rho(\theta) cos(\theta) \sqrt{\rho(\theta)^2 (cos^2(\theta) + sin^2(\theta))}

3$I = \Bigint_0^1 \Bigint_0^{\sqrt{1-\rho(\theta)^2 sin^2(\theta)}} \rho(\theta)^2 cos(\theta)

A partir de là je bloque, parce que si je calcule la primitive de ça il me semble que ça fait
3$I = \Bigint_0^1 \[\rho(\theta)\]_0^{\sqrt{1-\rho(\theta)^2 sin^2(\theta)}}
Mais bon, d'habitude on remplace y par son les bornes, là j'ai plus d'équivalent y en polaire

Posté par
TheDocire : Double intégrale 28-01-09 à 01:03

Oulah y'a eu du post pendant que j'écrivais mon résultat^^
Ok nightmare, je ne me pensais plus qu'on pouvait voir une racine comme une puissance

Pfiou, jamais j'aurai réussi ça dans un partiel de 2h, surtout qu'il y avait 3 autres exos

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Double intégrale 28-01-09 à 01:33

Allons y

la continuité de (x,y)\to x\sqrt{x^2+y^2} sur le domaine D=\{(x,y)/x,y\ge0,x^2+y^2\le1\} permet d'utiliser Fubini et on a donc :

3$\blue\fbox{I=\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-y^2}}x\sqrt{x^2+y^2}dx\right)dy=\int_0^1\left[\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}\right]_0^{\sqrt{1-y^2}}dy=\frac{1}{3}\int_0^1\left(1-y^3\right)dy=\frac{1}{3}\left[y-\frac{1}{4}y^4\right]_0^1=\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}

Posté par
TheDocire : Double intégrale 28-01-09 à 13:00

Merci beaucoup

Et qu'est-ce que ça aurait donné en coordonnées polaires ? Parce que j'ai commencé (cf mon post plus haut), mais j'ai bloqué

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Double intégrale 28-01-09 à 13:31

En remarquant que notre domaine est le premier quard du disque unité on a en polaire :

5$\blue\fbox{I=\int_{r=0}^1\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\underb{\fbox{rcos\theta}}_{x}.\underb{\fbox{r}}_{\sqrt{x^2+y^2}}.\underb{\fbox{r}}_{\left|J(\varphi)\right|}drd\theta} où 4$\blue\fbox{\varphi\;:\;(r,\theta)\to(x,y)=(rcos\theta,rsin\theta)}


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