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Doute sur continuité et dérivabilité d'une fonction

Posté par
jeunepadawan 28-01-09 à 21:17

Bonsoir
J'aimerais une confirmation des résultats suivants.
soit f(x)=sin^2 (x) + sin ^2(\frac{1}{x})   et f(0)=0

1. Etude de la dérivabilité en 0 de f.
\frac{f(h) -f(0)}{h}=\frac{(sin(h))^2}{h} + \frac{(sin(1/h))^2}{h}

LA première partie de cette expression tend vers 0 en 0 et la deuxième partie n'a pas de limite  en 0. f n'est pas dérivable en  0.
2. Continuité de f' en 0.
f'(x)= sin( 2x) - \frac{1}{x^2}sin( \frac{2}{x})

La deuxième partie de l'expression n'admet pas de limite en 0 : Elle est de la forme X² sin(2X) avec X en +infini  ( En prenant les suite nPI -PI/ 4  et nPI+PI/4  on montre qu'il n' y pas de limite.

donc f' n'est pas continue en 0.
3.Déterminer lim f et lim f' en  +infini.

Comme sin (x) n'a pas de limite en  + infini donc f n'a pas de limite en  +infini. De même pour f'.

Merci d'avance

Posté par
raymond Correcteurre : Doute sur continuité et dérivabilité d'une fonction 28-01-09 à 22:00

Bonsoir.

Comme f n'est pas continue en 0, on ne peut pas parler de dérivabilité en 0.

Posté par
jeunepadawanre : Doute sur continuité et dérivabilité d'une fonction 28-01-09 à 22:09

Et on ne peut pas prolonger f par continuité  puisque la limite de f en 0 n'existe pas  . Donc pour la 1 il est inutile de calculer le taux d'accroissement juste dire que f n'est pas continue en 0. Est-ce cela ?
merci

Posté par
raymond Correcteurre : Doute sur continuité et dérivabilité d'une fonction 28-01-09 à 23:17

Non continue en 0 entraine non dérivable en 0.


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