passe au log déjà

et ensuite, on écrit l'expression sous la forme d'une fonction, dont on étudie les variations.
Cela donne, en général, des indications suffisantes pour trouver ne nombre de fois que cette fonction s'annule.

Les solutions de e^x = x^n sur R*+ sont les mêmes que celles de ln(e^x) = ln(x^n) sur R*+, soit de x = n.ln(x) sur R*+
  
Cherchons les solutions de x = n.ln(x) sur R*+

f(x) = n.ln(x) - x.

Les solutions de e^x = x^n  sont celles de f(x) = 0 sur R*+

f '(x) = n/x - 1 = (n-x)/x

f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; n[ --> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = n
f '(x) > 0 pour n dans ]n ; +oo[ --> f(x) est décroissante.

f(x) a donc un maximum local pour x = n, ce max vaut f(n) = n.ln(n) - n = n(ln(n) - 1)

Ce max est donc > 0 si n > e, donc si n est entier (faudrait le dire dans l'énoncé), il suffit que n > 2

lim(x-> 0+) f(x) = -oo
lim(x-> +oo) f(x) = -oo

Avec n > 2 :
Comme f est continue sur R*+
et que lim(x-> 0+) f(x) = -oo
et que f(x) est croissante sur ]0 ; n[ avec f(n) > 0
et que f(x) est décroissante sur ]n ; +oo[
et que lim(x-> +oo) f(x) = -oo

On peut conclure que f(x) = 0 a exactement 2 solutions sur R*+

Donc, pour n > 2, e^x = x^n a exactement 2 solutions sur R*+ et comme x = 0, n'est pas solution -->

Pour n > 2, e^x = x^n a exactement 2 solutions sur R+
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Sauf distraction.  

D'accord, y'a juste une erreur de signe dans les dérivées mais j'ai bien compris en tout cas

Dernière question ; en notant (v_n) la suite des solutions telles que v_n > e, on montre que v_n tend vers +oo, mais comment montrer que v_n ~ n ln n quand n tend vers +oo ?

Bonjour bison-ravi ;

une idée :

si est un réel arbitraire strictement supérieur à

on vérifie assez facilement que et que

et en particulier

ce qui donne

ce qui s'écrit aussi _{sauf erreur bien entendu}

Je pense que l'on peut s'en tirer facilement en utilisant la convexité des deux fonctions.

la façon dont J-P résout ce problème est la plus simple:c'est la bonne démarche

Il n'y en a aucune autre de proposée non plus ...