Niveau école ingénieur

écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie

Posté par
mouradIII 20-12-09 à 13:53

bonjour,
voici un petit problème que j'ai rencontré. j'ai essayé avec la somme de Riemann mais en vain.
merci d'avance.

$écriture d\'une intégrale sous forme d\'une somme finie$

Posté par re : écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 20-12-09 à 13:54

Bonjour,
c'est une somme infinie, non ?
Ca suggère fortement de développer l'intégrande en série.

Posté par écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 20-12-09 à 14:03

Je ne parviens pas à écrire t^t sous la forme d'une série.

Posté par re : écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 20-12-09 à 14:27

salut

t^t = exp(t.ln(t))

Posté par écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 20-12-09 à 14:34

enfin, ça marche. merci beaucoup et bonne journée à tous.

Posté par re : écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 20-12-09 à 14:34

salut
expo(tlnt) comme une serrie en tlnt et integre

Posté par re : écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 20-12-09 à 22:34

Bonsoir ;

une petite réctification : $5$\fbox{\int_0^1\;t^t\;dt=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\;\frac{(-1)^{n-1}}{n^n}}$

Posté par re : écriture d'une intégrale sous forme d'une somme finie 21-12-09 à 13:10

Allez faisons les choses proprement !

$\fbox{*}$ Pour $t\in[0,1]$ (fixé) on sait que la série $\Bigsum_{n\ge0}\frac{(t\ell nt)^n}{n!}$ est convergente de somme $e^{t\ell nt}=t^t$

et comme en plus cette série est alternée (assez facile à voir) la majoration du reste donne , pour tout $n\ge1$ , $\left|t^t-\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{(t\ell nt)^k}{k!}\right|\le\frac{|t\ell nt|^n}{n!}$

une petite étude de $x\to x\ell nx$ sur $[0,1]$ donne $\sup_{0\le x\le1}|x\ell nx|=e^{-1}$

d'où , pour tout $n\ge1$ , $4$\fbox{\left|t^t-\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{(t\ell nt)^k}{k!}\right|\le\frac{e^{-n}}{n!}}$

$\fbox{*}$ Par intégration sur $[0,1]$ on obtient , pour tout $n\ge1$ , $5$\fbox{\left|\int_0^1\;t^t\;dt\;-\;\Bigsum_{k=0}^{n-1}\;\frac{1}{k!}\;\underb{\fbox{\int_0^1\;t^k\ell n^kt\;dt}}_{a_k}\right|\le\frac{e^{-n}}{n!}}$

$\fbox{*}$ A mon avis il ne doit pas être difficile de montrer que $4$\fbox{\forall k\in\mathbb{N}\;,\;a_k=\frac{(-1)^kk!}{(k+1)^{k+1}}}$

$\fbox{*}$ Et on obtient alors $5$\fbox{\forall n\ge1\;,\;\left|\int_0^1\;t^t\;dt\;-\;\Bigsum_{k=1}^{n}\;\frac{(-1)^{k-1}}{k^k}\right|\le\frac{e^{-n}}{n!}}$ _{sauf erreur bien entendu}

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