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ED du 2nd ordre
Bonjour je bloque sur un exo.. peut-être que vous pourrez m'aider?
soit f: [-1,1] -> R
x |-> cos(b*arcsin(x))
1) Trouver une ED du 2nd ordre verifiée par f
2) trouver f(n)(0)
1) f est Coo sur [-1,1] comme composé de fonction Coo sur [-1,1]
d'ou
f(x)=cos(b*arcsin(x))
f'(x)=-b*sin(b*arcsin(x))/
(1-x2)
f''(x)= b2cos(b*arcsin(x))/(x2-1) - b*x*sin(b*arcsin(x))/(1-x2)3/2
soit
f''(x)=b2/(x2-1) f(x) - b*x/(1-x2)2 f'(x)
je ne vois pas trop comment faire la 2)...
Merci d'avance pour votre aide^^
Bonsoir.
S'il y a un lien entre les deux questions, on peut essayer de travailler sur les séries entières.
Mais les calculs sont assez pénibles.
Bonsoir à tous les deux !
Pour construire une équation différentielle dont f est solution et va nous servir :
-multiplie f''(x) par 1-x^2
-multiplie f'(x) par -x
-multiplie f(x) par b^2
Ensuite somme ces 3 quantités, qu'observes-tu ?
Tu vois donc que f est solution d'une équation différentielle linéaire à coefficient non constant du 2nd ordre.Nommons la (E).
De plus f(0)=1 et f'(0)=0, donc f est solution du problème de Cauchy : .
Recherche les solutions de (E) développable en série entiere au voisinage de 0 ( ce qui est facile puisque les coefficients de (E) sont des fonctions polynomiales) et utilise l'unicité des solutions de 
puis le théoreme de Taylor sur les séries pour trouver les f(n)(0)
Si tu bloques sur un des points, n'hésite pas 
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