Niveau terminale

Edlv

Posté par
MistK 11-11-15 à 12:21

Bonjour,
Je dois résoudre une EDL1 dans R (qui me paraissait toute simple), avec une premier méthode je trouve un résultat (que je sais juste), et par variation de la constante je trouve un résultat faux, je ne vois pas l'erreur
Premier méthode :
$y'-y=x \Leftrightarrow (y'-y)e^{-x}x=xe^{-x}$
En remarquant que : $\\ (y'-y)e^{-x}=(ye^{-x})'$ On a :
$(ye^{-x})'=xe^{-x} \\ ye^{-x}=\int xe^{-x}+C \\ y=e^{x}\int xe^{-x}+e^{x}C \\ y=x-1+e^{x}C$

En passant par variation de la constante :
Les fonctions solutions de l'équation homogène associée est de forme
$x\rightarrow \lambda e^x$ avec $\lambda$ dans R
Soit f une fonction dérivable sur R avec $f(x)=\lambda (x)e^x$
f est une solution de l'EDL1 ssi : ( en remplaçant y par f dans l'EDL1)
$\lambda '(x)e^x+\lambda (x)e^x-\lambda (x)e^x=x$
Au final :
$\lambda (x)=\int xe^{-x}=-xe^{-x}-e^{-x}=(-x-1)(e^{-x})$
Donc les solutions de l'EDL1 sont de formes :
$x\rightarrow \lambda e^x+(-x-1)(e^{-x})$
Ce qui est faux.

Posté par re : Edlv 11-11-15 à 13:22

Ce qui est faux c'est le (non) calcul de l'intégrale :
Une primitive de x e^{- x} est (- x - 1) e^{- x} donc y = - x - 1 + C e^x

Tu n'as pas à utiliser la variation de la constante puisque tu ne passe pas par l'étape équation homogène etc.

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