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edp

Posté par
romu 30-09-08 à 15:34

Bonjour,

On considère l'équation aux dérivées partielles

4$(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})^2+(\frac{\partial u}{\partial x})^2+\sin(u) = e^y\qquad \qquad (E)

où 3$u est une fonction définie sur un domaine de 3$\mathbb{R}^2. J'ai du mal à montrer si elle est linéaire ou non, je pense que non, mais je n'arrive pas à saisir un contre-exemple.

Merci pour votre aide.

Posté par
Camélia Correcteurre : edp 30-09-08 à 16:03

Bonjour romu

Bien sur qu'elle n'est pas linéaire avec le sinus au beau milieu! Si u est solution, il n'y a aucune raison pour que 2u le soit!

Posté par
romure : edp 30-09-08 à 16:48

Bonjour Camélia,

je n'arrive pas à aboutir à une contradiction:

Si 3$2u est aussi solution, on a

4$(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})^2+(\frac{\partial u}{\partial x})^2+\sin(u) = (\frac{\partial^2 (2u)}{\partial x^2})^2+(\frac{\partial (2u)}{\partial x})^2+\sin(2u),

ie:  4$3[(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})^2+(\frac{\partial u}{\partial x})^2]+\sin(2u)-\sin(u)=0,

et là je ne vois pas comment aboutir à une contradiction?

Posté par
Camélia Correcteurre : edp 30-09-08 à 16:55

Bon, en plus je n'avais pas vu les carrés autour des dérivées partielles. De toute façon elle n'est sûrement pas linéaire!

En plus, qu'appelles-tu linéaire? Avec le second membre elle ne l'est sûrement pas, puisque u=0 ne convient pas. En général, linéaire veut dire que le premier membre est linéaire et l'équation est "affine".

Ceci étant dit, avec les carrés, u et -u ne peuvent être solutions non nulles du premier membre =0.


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