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Egalité d'ensembles
Salut à tous, voici un exercice ou je suis bloqué à la deuxième question :
On considère la fonction :
C\(i)->C\(1)
f:
z -> (z+i)/(z-i)
1) Montrer que f est bijective
Ça marche bien en montrant que f est injective et surjective.
2)Montrer que f(R)=U\(1) (R est l'ensemble des réels et U l'ensemble des unimodulaires)
On doit montrer deux inclusions, l'inclusion directe est simple : on calcule le module de f(x) avec x€R et c'est réglé, par contre je ne vois pas comment commencer l'autre inclusion et pourquoi c'est U privé de 1.(Bien que, lorsque l'on démontre la surjectivité de f, on voit pourquoi on enlève 1)
3)Déterminer f(U\(i))
Je trouve que c'est (1+Im(z))/(1-Im(z)), z€U\(i)
4)Déterminer f(iR\(i))
Je trouve que c'est (1+Im(z))/(Im(z)-1), z€iR\(i)
(Perso, ces deux derniers résultats me paraissent bizarre...)
Merci à ceux qui s'intéresseront au problème !
2) Pour l'inclusion directe, tu prouve déjà que z est réel induit f(z) est unimodulaire.
Ensuite tu dit que z appartient à C\{i} donc f(z) appartient à C\{1}.
z appartient à U et z appartient à C\{1}
Donc z appartient à U\{1}
Si tu sais prouver que (1+z)/(1-z) est imaginaire pour z de U\{1} alors tu as prouvé l'inclusion réciproque.
Tu calcule l'application réciproque de f, c'est -i*(1+z)/(1-z). On veut prouver que pour tout z de U\{1}, f-1(z) est réel, donc que (1+z)/(1-z) est imaginaire, d'où ma remarque précedente.
Ensuite on sait que z appartient à U.
Donc il existe un a réel tel que z = eia.
Donc d'après ton cours
Ensuite on simplifie et en utilisant les formules d'Euler :
qui est évidement imaginaire
CQFD pour la question 2.
Voila pour le raisonnement, par contre je crois que j'ai fait une erreur quelque part...
Pour les deux dernières questions, tu doit établir une égalité entre un ensemble et f(A), donc il n'y a pas de variable concernée (sauf erreur de ma part, il est tard).
Tu peut t'aider de l'égalité : f(z)=i*f-1(z) que tu prouve en déterminant la fonction réciproque de f.
Merci beaucoup, mais comment est ce que je peux calculer l'application réciproque de f ? C'est une similitude directe ?
Et pour les deux dernières questions en fait ce que je trouve c'est l'ensemble (Je sais pas comment mettre les accolades, j'ai mis des crochets à la place) [(1+Im(z))/(1-Im(z)), z€U\(i)
] et pareil pour l'autre. C'est pas ca ? ^^
Edit : pour l'application réciproque j'ai trouvé c'est bon, je suis parti de fof-1(z) = z et ça marche :p
Heu... pour le calcul de l'application réciproque je vois pas trop comment tu fait. Si tu veux mettre des exposants ou des indices, utilise les balises [sub][/sub] et [sup][/sup].
Personellement je m'en tire toujours en exprimant z en fonction de f(z) à partir de l'équation f(z)=(z+i)/(z-i).
Le problème avec les réponses que tu donne aux dernières questions, c'est que ce ne sont pas des ensembles (ou alors je découvre...), alors que l'on te demande précisement des ensembles. En gros, tu doit prouver que si z appartient à U\{i}, alors il appartient à l'ensemble que tu propose comme réponse et vice-versa. Je crois que pour la 3e question, c'est quelque chose comme R\{1}.
Pour les accolades, si tu as un clavier français, c'est [Alt Gr]+['] (le 4 en haut du clavier) et [Alt Gr]+[=].
Euh je crois que j'ai trouvé l'erreur de raisonnement, pour la question 2, quand vous dites qu'il suffit de montrer que pour z€U\(1) f(z) est un imaginaire pur il y a un problème pour -1 parce que -1 appartient a U mais pas à iR.
Et donc, je ne sais toujours pas comment faire :p
Et je ne vois pas pourquoi on devrait calculer l'application réciproque aussi...
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