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Ellipse
Bonjour à tous,
J'ai un problème à résoudre, j'ai commencer les première questions mais je ne voit pas comment continuer si quelqu'un peut m'aider,
énoncer:
Soit P un plan de repère R: (O,
,
).
Soit C un cercle de centre O et de rayon R>0;
Soit A1(R,0); A2(0,R) ; A3(-R,0)
Soit (E) : 4x2 + 5y2 - 4Ry = 0
1) démontrer que (E) est une Ellipse, puis donner deux axes et une centre de symétrie;
Après calcul, je trouve (E): X2/(R/
5)2 + Y2/(2R/5)2 = 1
avec X = x et Y = y - 2R/5
=> centre de symétrie : (0 , 2R/5)
=> axes de symétrie : axe (Oy) et y = 2R/5
2) En étudiant le signe de (4x2+5y2-4Ry)-4(x2+y2-R2) ; (x,y)
IR2; donner la position relative de C et E
Donc en développant les expressions on obtient (y-2R)2 >0 donc E toujours au dessus de C
3) Soit (E): x=a cos 
y=b sin
montrer que (D) d'équation y=mx+m' rencontrer (E) en un point unique si et seulement si : x2/a2 + (mx+m')2/b2 = 1
et x/a2 + m(mx+m')/b2 = 0
Ici je en vois pas comment je pourrais m'y prendre
4) On pose OM(t) = R[(1-t2)/(1+t2)+ (2t)/(1+t2)]
montrer que (1-p)x+sy-R(1+p)=0 est une équation de la droite (M(t)M(u)) en posant s=t+u et p=tu
ici, j'ai voulu calculer Det(M(t)N;M(t)M(u))=0 avec N(x,y) mais j'arrive à des calculs monstrueux et je n'arrive pas à retrouver s et p dans ma nouvelle équation.
Merci à tous.
Bonjour benji,
Pour la 3), on serait tenté d'utiliser la dérivée mais ce n'est pas une fonction à proprement parler.
Donc, on va partir du cas où il y a 2 points d'intersections (x;y) et (x';y')
On a alors
x2/a2 + y2/b2 = 1
et x'2/a2 + y'2/b2 = 1
d'où (x-x')(x+x')/a2 + (y-y')(y+y')/b2 = 0
or y=mx+m' et y'=mx'+m' donc y-y'=m(x-x')
on peut donc remplacer y-y' par son expression et simplifier par x-x', ce qui donne :
(x+x')/a2 + m(y+y')/b2 = 0
Si on veut qu'il n'y ait qu'un seul point d'intersection, il faut avoir x=x' et y=y', d'où le résultat
Alors ici, il faudra trouver une bonne façon de rédiger : on a fait l'hypothèse que x
x' pour pouvoir simplifier par x-x', et on dit maintenant qu'on veut que x=x'
Ca revient à rapprocher les deux points d'intersection pour faire tangenter la droite à l'ellipse.
Je te laisse trouver la bonne formulation ?
J'essaye de regarder le 4 et je te tiens au courant
Pour la 4), on peut simplifier les écritures en notant pour M(t) : cos=(1-t2)/(1+t2) et sin=2t/(1+t2)
Idem pour M(u), on note cos
=(1-u2)/(1+u2) et sin=2u/(1+u2)
Tu fais le déterminant et tu obtiens une équation en x et y avec comme coeffs des sommes et des différences de sinus et de cosinus de et
En utilisant les formules et
, tu obtiens des coeffs en sin(
+)/2 et cos(-)/2
Ensuite, si tu développes s=t+u, 1+p=1+tu et 1-p=1-pu en fonction de tan(/2) et tan(/2), tu retrouves les coeffs de l'équation.
Je te laisse développer les calculs (un peu moins monstrueux qu'en gardant les expressions en t et u)
Bon courage !
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