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en conclusion prouver la droite d euler
bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice particulierement difficile!
On considere les points A(-4;5), B(-3;2) et C(5;2) dans un repère orthonormal.
1:Calculer les angles du triangle.(on donnera une valeur approchée au degré prés)
2:Calculer les coordonnées de l'orthocentre H, du centre de gravité G et du centre du cercle circonscrit O du triangle ABC
3: Démontrer que ces trois points sont alignés (on dit qu'ils forment la "droite d'Euler")
\vec{AB}(1,-3) ; \vec{AC}(9,-3} et \vec{BC}(8,0)
merci mais je sais quand même calculer des vecteurs...
J'ai calculé la norme des vecteurs AB AC et BC et j'ai également appliqué la formule xx'+yy' mais je n'arrive pas à trouver la valeur des angles!
j'ai réussi à trouver la valeur des angles
AB² = 1² + 3² = 10
AB = V10
AC² = 9²+3² = 87
AC = V87
BC² = 8² = 64
BC = 8
AlKashi:
AB² = AC² + BC² - 2AC.BC.cos(ACB)
10 = 87 + 64 - 2.V87 . 8 . cos(ACB)
cos(ACB) = 0,944799...
angle(ACB) = arccos(0,944799...) = 19° (à moins de 1° près)
...
Les autres angles, soit encore par Al Kashi, soit par la règle des sinus ...
Sauf distraction. 
je n'arrive pas à trouver la valeur de l'angle C
2)
equation de (AC):
y = -(1/3)x + (11/3)
Les perpendiculaires à (AC) on pour équation y = 3x + k
Celle qui passe par B a pour équation: y = 3x + 11
C'est l'équation de la hauteut issue de B du triangle ABC.
Equation de la hauteur issue de A: x = -4
Les coordonnées de H se trouvent en résolvant le système:
y = 3x + 11
x = -4
--> H(-4 ; -1)
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G((-4-3+5)/3 ; (5+2+2)/3)
G(-2/3 ; 3)
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Le point milieu de [AC] a pour coordonnées (1/2 ; 7/2)
La médiatrice de [AC] a pour équation: y = 3x + 2
La médiatrice de [BC] a pour équation: x = 1
Les coordonnées de O se trouvent en résolvant le système:
y = 3x + 2
x = 1
--> O(1 ; 5)
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Il reste a montrer que les points H(-4 ; -1), G(-2/3 ; 3) et O(1 ; 5) sont alignés.
ce n'est guère difficile.
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Calculs à vérifier
Sauf distraction.
AC au carré n'est pas égal à 87 mais a 90 car 81+9=90
je ne comprend vraiment pas ton raisonnement pour la question 2...
H est le point de rencontre des hauteurs du triangle.
La hauteur passant B est perpendiculaire à la droite AC.
--> on cherche l'équation de la droite (AC).
On en déduit les équations des perpendiculaire à (AC).
Parmi celle-ci, celle qui passe par B est la hauteur issue de B du triangle ABC. (on arrive a: y = 3x + 11)
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On cherche ensuite la hauteur issue de A, là c'est immédiat car B et C ont la même ordonnées --> (BC) est // à l'axe des abscisses et la hauteur qui lui est perpendiculaire est donc // à l'axe des ordonnées.
Comme elle passe par A, on a de suite son équation, soit x = -4.
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H se trouve donc à l'intersection de 2 hauteurs dont on a trouvé les équations
--> les coordonnées de H se trouvent en résolvant le système:
y = 3x + 11
x = -4
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Pour G c'est immédiat, les coordonnées de G sont la moyenne arithmétique des coordonnées des 3 sommets du triangle (soit leur somme divisé par 3).
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Pour O.
Le centre du cercle circonscrit au triangle est à la rencontre des MEDIATRICES du triangle, soit des droites passant par les milieux des cotés et leur étant perpendiculaires.
--> on cherche les équations de 2 des médiatrices du triangle, et on résout le système formé par ces 2 équations pour avoir les coordonnées de 0.
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C'est ce que j'ai fait dans ma réponse précédente.
mais je suis d'accord avec toi mais mon problème c'est que je ne comprend pas les calculs d'une équation 3x+ k
3x+11 etc..
non rien pardon j'ai tout compris
Je suppose que tu as appris à trouver l'équation d'une droite passant par 2 points.
La droite passant par A et C a pour équation: y = -(1/3)x + (11/3)
le coefficient de x (soit -1/3) est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite.
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A savoir:
2 droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1
Donc, soit "a" le coefficient directeur des droites perpendiculaire à la droite (AB), on doit avoir:
(-1/3)*a = -1
--> a = 3
Les perpendiculaires à (AB) ont donc pour équation y = 3x + k
(les différentes valeurs de k déplacent la droite parallèlement à elle même).
Il reste à trouver parmi toutes les droites d'équation y = 3x + k, la valeur de k qui fera que la droite passera par le point B.
Il faut donc que les coordonnées de B satisfassent l'équation y = 3x+ k
--> 2 = 3*(-3) + k
k = 2 + 9
k = 11
Donc la droite d'équation y = 3x + 11 est perpendiculaire à (AC) et passe par B.
C'est donc l'équation de droite qui supporte la hauteur du triangle ABC passant par B.
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