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encadrement d'une fonction exponentielle
Bonjour,
J'ai un problème sur un sujet d'annale (Devoir Maison à rendre demain) Inde avril 2003 sur la fonction exponentielle f(x)= x^2*exp(x-1)- x^2/2
On introduit la fonction g(x)= (x+2)*exp(x-1)-1
J'ai trouvé que g(x) possède une unique solution dans IR, notée a pour g(x)=0
Ensuite j'ai montré que f(a)= -a^3/2*(a+2)
On introduit ensuite la fonction h(x)= -x^3/2*(x+2), j'ai calculé sa dérivée sur l'intervalle [0;1] et j'ai trouvé [-x^2*(x-3)]/(x+2)^2
h(x)>0 donc h est strictement croissante sur [0;1]
Il faut alors trouver un encadrement pour f(a), et là je bloque.
je crois que l'encadrement c'est 1.5<f(a)<0, mais je ne comprend pas !! Ce n'est pas dans le domaine de définition !!
Rappel: Ensemble de définition, ensemble des abscisses t(el que f existe
f(a) est encadrée par 1,5 et 0, mais ce n'est pas grave, c'est l'ordonée
Bonsoir
f'(x) = 2x.e^(x-1) + x².e^(x-1) - x = x(x.e^(x-1) + 2.e^(x-1) - 1 ) = x.g(x)
a : | e^(a-1)=1/(a+2)
=> f(a) = -a³/{2.(a+2)} ok
h(x) = -x³/{2.(x+2)} => h'(x) = -x²(x+3)/(x+2)² et pas (x-3)
et dans [0;1] h(x) est < 0 et décroît
h(a) = f(a) = -a³/(2(a+2))
g(0.2) = -0.11....<0 et g(0.3) = 0.14 > 0 => 0,2 < a < 0,3 (*)
h(0.2) = -0,001818....
h(0.3) = -0,0058...... =>
h(a) = f(a) est tel que -0,0059 < f(a) < -0,0018
*
pour améliorer on peut prendre 0,20 et 0,21 ( h(0,21) = -0,002095...et on aurait -0,0021 < f(a) < -0,0018)
à titre d'information
a = 0.207940031569322....
et f(a) = -0.002036090356...
A+
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