pour 8: 2^(8-1)=128
pour 12: 2^(12-1)=2048

pour n: 2^(n-1)

Pour une somme égale à n, il y a 2^n-1 possibilités.
Donc pour une somme égale à 8, 2⁷=128 possibilités.
De même pour 12, 2¹¹=2048 possibilités... pauvre mini-minkus

pour 8: il y a 128 possibilités.
pour 12: 2^11 soit 2048 possibilités.

pour n, 2^(n-1) possibilités.

bonjour,

_{1 étoile aurait peut-être suffit...}

Pour 1, on a 1 = 1 combinaison
Pour 2, on a 1+1 = 2 combinaisons
Pour 3, on a 1+2+1 = 4 combinaisons
Pour 4, on a 1+3+3+1 = 8 combinaisons
...
En italique, on a affaire au triangle de Pascal. Et en gras la somme des lignes qui n'est autre que la puissance 2 du numéro de (la ligne - 1).

Pour 8, on a 1+7+21+35+35+21+7+1 = 2⁷ = 128 combinaisons
Pour 12, on a 1+11+55+165+330+462+462+330+165+55+11+1 = 2¹¹ = 2048 combinaisons

Pour n, on a 2^n-1 combinaisons.


Merci pour l'énigme.

Salut jamo!

Il y a 2^(n-1) possibilités pour une somme égale à n. Ce qui nous donne :
128 possibilités pour une somme égale à 7
2048 possibilités pour une somme égale à 12.

@+ et merci pour l'énigme.

Bonjour,
pour 8 cubes:128 combinaisons differentes
pour 12 cubes:2048 combinaisons differentes
pour n cubes:2^n-1 combinaisons differentes

1)On écrit 8 fois le chiffre 1 le tout entouré d'une parenthèse.
Le nombre de combinaisons est égal au nombre de possibilités de placer le sign ")+(" dans les 8-1=7 intervalles entre les 1.
Pas de signe : C(7,0)
1 signe : C(7,1)
etc..
7 signes : C(7,7).
N= C(7,0)+C(7,1)+C(7,2)...+C(7,7)= 2⁷= 128

2) pour 12, on obtient 2¹¹= 2048

Pour n, on obtient 2^(n-1) combinaisons

bonjour Jamo
avec 8 : 128 nombres (2⁷)
avec 12 : 2048 nombres(2¹¹)
avec n : 2^n-1 nombres

Bonjour,

notons le nombre de façon possible d'écrire le nombre k avec n cubes et notons le résultat que l'on cherche.

On trouve la relation de récurrence suivante :

En sommant on obtient donc

donc
avec si . Sinon .
Et .

Je propose donc le résultat suivant :
b(8)=128 et b(12)=2040

En espérant ne pas avoir fait de faute de calcul...

Le terme général est défini par récurrence :
,

Merci pour l'énigme ,

1emeu

Bonjour,

il s'agit de décomposer n en somme de chiffres (quitte à ordonner cela de façon croissante puis calculer les permutations de chaque position -comme dans le cas d'anagrammes de mots en faisant attention aux chiffres multiples-).
Pour n=8 (dénombrement à la main dans un tableau excel), on a 22 cas:
8 :1
7 1 :2
6 2 :2
6 1 1 :3
5 3 :2
5 2 1 :6
5 1 1 1 :4
4 4 :1
4 3 1 :6
4 2 2 :3
4 2 1 1 :12
4 1 1 1 1 :5
3 3 2 :3
3 3 1 1 :6
3 2 2 1 :12
3 2 1 1 1 :20
3 1 1 1 1 1 :6
2 2 2 2 :1
2 2 2 1 1 :10
2 2 1 1 1 1 :15
2 1 1 1 1 1 1 :7
1 1 1 1 1 1 1 1 :1
soit un total de 128

Pour n=12, on a 73 cas:
9 3 :2
8 4 :2
7 5 :2
6 6 :1
9 2 1 :6
8 3 1 :6
7 4 1 :6
6 5 1 :6
8 2 2 :3
7 3 2 :6
6 4 2 :6
5 5 2 :3
6 3 3 :3
5 4 3 :6
4 4 4 :1
9 1 1 1 :4
8 2 1 1 :12
7 3 1 1 :12
6 4 1 1 :12
5 5 1 1 :6
7 2 2 1 :12
6 3 2 1 :24
5 4 2 1 :24
5 3 3 1 :12
4 4 3 1 :12
6 2 2 2 :4
5 3 2 2 :12
4 4 2 2 :6
4 3 3 2 :12
3 3 3 3 :1
8 1 1 1 1 :5
7 2 1 1 1 :20
6 3 1 1 1 :20
5 4 1 1 1 :20
6 2 2 1 1 :30
5 3 2 1 1 :60
4 4 2 1 1 :30
4 3 3 1 1 :30
5 2 2 2 1 :20
4 3 2 2 1 :60
3 3 3 2 1 :20
4 2 2 2 2 :5
3 3 2 2 2 :10
7 1 1 1 1 1 :6
6 2 1 1 1 1 :30
5 3 1 1 1 1 :30
4 4 1 1 1 1 :15
5 2 2 1 1 1 :60
4 3 2 1 1 1 :120
3 3 3 1 1 1 :20
4 2 2 2 1 1 :60
3 3 2 2 1 1 :90
3 2 2 2 2 1 :30
2 2 2 2 2 2 :1
6 1 1 1 1 1 1 :7
5 2 1 1 1 1 1 :42
4 3 1 1 1 1 1 :42
4 2 2 1 1 1 1 :105
3 3 2 1 1 1 1 :105
3 2 2 2 1 1 1 :140
2 2 2 2 2 1 1 :21
5 1 1 1 1 1 1 1 :8
4 2 1 1 1 1 1 1 :56
3 3 1 1 1 1 1 1 :28
3 2 2 1 1 1 1 1 :168
2 2 2 2 1 1 1 1 :70
4 1 1 1 1 1 1 1 1 :9
3 2 1 1 1 1 1 1 1 :72
2 2 2 1 1 1 1 1 1 :84
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :10
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 :45
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :1
soit un total de 2040.

Le piège tendu par jamo quant à la généralisation était de répondre par la formule qui convient parfaitement de 1 à 9, mais mise en défaut ensuite.
En effet, à partir de n=10 certains cas sont manquants (1 pour 10; 3 pour 11 et 8 puis 12 (les cas 12/11-1/10-2/10-1-1))...

Une petite recherche permet de confirmer cela...
il s'agit des "9-nombres de Fibonacci" (encore lui!)
On peut donner une formule par dizaine mais pas une formule explicite générale (la formule de récurrence est donnée par le lien).

Merci pour l'énigmo très enrichissante.

Bonjour,

1 - pour 8 = 128 combinaisons
2 - pour 12 = 2048 combinaisons

subsidiaire : pour n = 2^(n-1) combinaisons

1)  Il y a 128 possibilités
2)  Il y a 2048 possibilités
QS) Il y a 2^n-1 possibilités

Bonjour,

1. il y a combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 8.

2. il y a combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 12.

Question subsidiaire : il y a combinaisons pour une somme égale à n.

Merci et A+, KiKo21.

Alors,

je trouve 128 combinaisons pour que la somme des chiffres soit égale à 8.

Soit 2^(8-1).

J'en déduis qu'il y a 2040 combinaisons pour que la somme des chiffres soit égale à 12 (2^11-8 pour les 8 combinaisons utilisant le 12, le 11 ou le 10).

Pour n inférieur ou égal à 9, il y a 2^(n-1) combinaisons.

Pour n supérieur ou égal à 10, il y a 2^(n-1)-2^(n-9) combinaisons. (en l'écrivant, je me dis que c'est faux... mais bon...)

1.
1+1+1+1+1+1+1+1 → 1
1+1+1+1+1+1+2 → 7
1+1+1+1+1+3 → 6
1+1+1+1+2+2 → 15
1+1+1+1+4 → 5
1+1+1+2+3 → 20
1+1+2+2+2 → 10
1+1+1+5 → 4
1+1+2+4 → 12
1+1+3+3 → 6
1+2+2+3 → 12
2+2+2+2 → 1
1+1+6 → 3
1+2+5 → 6
1+3+4 → 6
2+2+4 → 3
2+3+3 → 3
1+7 → 2
2+6 → 2
3+5 → 2
4+4 → 1
8 → 1

Ce qui nous fait un total de : 1+7+6+15+5+20+10+4+12+6+12+1+3+6+6+3+3+2+2+2+1+1 = 128

2.
En procédant de la même façon, on obtient 2048 possibilités

De façon générale, il est facile de montrer par récurrence que pour la somme d'entiers de valeur n, on a 2^n-1 combinaisons possibles. (vérifié déjà pour 4, 8 et 12, facilement vérifiable pour 1 et 2)...

pour unne somme de 8 il y a  128 combinaisons
pour une somme de 12 il y a  2048 combinaisons

pour une somme de  n  il y a 2^(n-1) combinaisons

A+
Torio

Bonjour Jamo et merci.

J'appelle f(n) le nombre de décompositions de l'entier n en somme, en convenant que f(0)=1.
Ainsi f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4 et (exemple donné par l'énoncé) f(4)=8.
En distinguant les décompositions commençant par 5,4,3,2 ou 1, on voit que f(5)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2f(4)=16.
On réitère sans peine.
En particulier
il y a 128 décompositions de 8
et 256 décompositions de 9.
Cela se complique à partir de 10 car il n'y a pas de décomposition commençant par 10.
On a toujours, néanmoins, f(n)=f(n-9)+f(n-8)+..+f(n-1).
d'où f(10), f(11) et f(12) qui nous montre que:
Il y a 2040 décompositions de 12.

J'essaie de lever la récurrence (linéaire) écrite plus haut pour donner explicitement f(n). Je cherche...

Bonsoir,

Pour une somme égale à n>0, je trouve qu'il y a 2^(n-1) combinaisons.

1. Pour une somme égale à 8, il y a 128 combinaisons.

2. Pour une somme égale à 12, il y a 2048 combinaisons.

Merci !

Soit u(n) le nombre de combinaisons pour faire n. Si n<10, le premier cube peut être k<=n, suivi d'une des combinaisons pour faire n-k, donc
u(n)=u(n-1)+...+u(1)+1, soit u(1)=1, u(2)=2, u(3)=4,... donc u(n)=2^(n-1)
Si n>=10, le premier chiffre peut être k<=9, suivi d'une combinaison pour faire n-k, soit u(n)=u(n-1)+...+u(n-9)
Donc u(1)=1, u(2)=2, u(3)=4, u(4)=8, u(5)=16, u(6)=32, u(7)=64, u(8)=128, u(9)=256, u(10)=511, u(11)=1021, u(12)=2040, u(13)=4076, u(14)=8144,...
Les réponses aux questions posées sont donc 128 et 2040

Bonjour à tous !

1) 2⁷ = 128 combinaisons
2) 2¹¹ = 2048 combinaisons


3) 2^n-1 combinaison(s)

alors a tous hasard 256 pour la somme 8 et 4096 pr la somme 12 et 2ⁿ pour la somme n

Il y a 128 combinaisons pour 8 et 2048 combinaisons pour 12 :
U_n = 2^n-1

Bonjour,

1) Pour un total de 8, il y a 128 combinaisons.
2) Pour un total de 12, il y a 2040 combinaisons.

Bonjour...
Pour faire 1 il y a une possibilité c'est 1.
Pour 2 on a 2 et 1+1, soit 2 possibilités.
Pour 3 il y a 3, 2+1, 1+2, 1+1+1, soit 4 possibilités.
On peut procèder par reccurence, pour trouver n, il faut alors connaitre le nombre de possibilités pour les (n-1) termes précédents...

Par exemple pour 8 on peut avoir:
8,
7+(possibilités de faire 1),
6+(possibilités de faire 2),
5+(possibilités de faire 3),
4+(possibilités de faire 4),
3+(possibilités de faire 5),
2+(possibilités de faire 6),
1+(possibilités de faire 7).

Et donc si on connait le nonbre de possibilités de faire 1,2,3,4,5,6 et 7 on trouve alors le nombre de possibilités de faire 8.
Soit 1+1+2+4+8+16+32+64=128 possibilités.
Attention au piège pour 12, en effet pour 12 on ne peut pas avoir
11+(possibilité de faire 1), on commence par 9+(possibilités de faire 3) etc ...
On trouve pour 12 2040 possibilités.

Pour résumé  on a 128 possibilités de faire 8, et 2040 possibilités de faire 12...

Bonsoir jamo,


1. Combien y-a-t-il de combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 8 ?

Je trouve 128 combinaisons dont voici le détail:

1 chiffre: 1 combinaison : 8
2 chiffres: 7 combinaisons :17 71 26 62 35 53 44
3 chiffres: 21 combinaisons :
116 161 611    125 215 152 251 512 521    134 314 143 341 413 431    224 242 422       332 323 133
4 chiffres: 35 combinaisons :
1124 1214 2114 1142 1241 2141 1412 1421 2411 4112 4121 4211
1133 1313 3113 1331 3131 3311
1115 1151 1511 5111
1223 2123 2213 2231 1232 2132 2321 2312 1322 3221 3212 3122
2222
5 chiffres: 35 combinaisons :
11114 11141 11411 14111 41111
11123 11213 12113 21113 11132 11231 12131 21131 11312 11321 12311 21311 13112 13121 13211 23111 31112 31121 31211 32111
11222 12122 21122 12212 21212 12221 21221 22121 22211 22112
6 chiffres: 21 combinaisons :
111113 111131 111311 113111 131111 311111
111122 111212 112112 121112 211112 111221 112121 121121 211121 112211 121211 211211 122111 212111 221111
7 chiffres: 7 combinaisons :
1111112 1111121 1111211 1112111 1121111 1211111 2111111
8 chiffres: 1 combinaison :11111111

2. Combien y-a-t-il de combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 12 ?

De même je trouve 2048 combinaisons.



Question subsidiaire : combien de combinaisons pour une somme égale à n ?

En regardant que pour 4 il y a 8 combinaisons ,que pour 8 il y a 128 combinaisons  et 2048 pour 12 pour n combinaisons il doit y avoir 2 à la puissance (n-1)combinaisons.

somme égale à 8 : 128 combinaisons
somme égale à 12 : 2048 combinaisons
somme égale à n :  2^n-1

Bonjour Jamo,
128= nombre de tours dont la somme est 8 , avec des cubes de 1 à 8,
2^8-1=2⁷= 128
2048= nombre de tours dont la somme est 12 avec des cubes de 1 à 12
2^12-1=2¹¹=2048
2040= nombre de tours dont la somme est 12 avec des cubes de 1 à 9
en supprimant les cubes "10" "11" et "12":
1+1+10
1+10+1
10+1+1
2+10
10+2
1+11
11+1
12
2048-8=2040

Bonjour jamo,

Manifestement Mini-Minkus est abonné aux suites de Fibonacci.
En effet, le nombre de combinaisons de cubes pour obtenir la somme n est



Ce qui est une suite de Fibonacci d'ordre 9.

1. Le nombre de combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à  8 est  128.
2. Le nombre de combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 12 est 2040.

Question subsidiaire:
Ca va pas la tête, non ? Les racines de l'équation caractéristique de cette suite sont à coucher dehors.
La seule racine réelle (l'ordre de la suite étant impair) est approximativement 1.99802947026229, les autres racines sont quatre paires de complexes conjugués.

Pour     :
Pour :

Après ça... bobo à la tête !

Bonsoir

Je trouve pour la formule générale






On part des séries de somme n-1, on construit les séries de somme n en ajoutant 1, ce qui se fait de 2 manières différentes pour chacune, sauf pour celle constituée que de 1, mais on comble l'absent par la série constituée uniquement du cube de valeur n.

Et comme ...

salut,
pour 8 il y a 128 décompositions.
pour 12 il y a 2048 décompositions.
tout ca parceque je pense que pour n il y a 2^(n-1) décompostions.

pour une somme = 8
1+1+1+1+1+1+1+1 = 1 possibilité
1+1+1+1+1+1+2   = 7 possibilités
1+1+1+1+2+2     = 15 possibilités
1+1+2+2+2       = 10 possibilités
2+2+2+2         = 1 possibilité
1+1+1+1+1+3     = 6 possibilités
1+1+3+3         = 6 possibilités
1+1+1+2+3       = 20 possibilités
1+2+2+3         = 12 possibilités
2+3+3           = 3 possibilités
1+1+1+1+4       = 5 possibilités
4+4             = 1 possibilité
1+1+2+4         = 12 possibilités
2+2+4           = 3
1+3+4           = 6
1+1+1+5         = 4
1+2+5           = 6
3+5             = 2
1+1+6           = 3
2+6             = 2
1+7             = 2
8               = 1

La réponse est 128 (=2^7)

Pour une somme égale à 12, la réponse est 2^11 = 2048 possibilités

Pour une somme égale à n, la réponse est 2^n

Bonjour,

Allez je me lance pour ma première énigme
Après dénombrement je dirais :

1) 128 combinaisons
2) 1565 combinaisons

Je ne sais pas si la justification est nécessaire alors je mets celle pour la question 1) :

Combinaison (Nb arrangements)
8                (1)
7+1              (2)
6+2              (2)
6+1+1            (3)
5+3              (2)
5+2+1            (6)
5+1+1+1          (4)
4+4              (1)
4+3+1            (6)
4+2+2            (3)
4+2+1+1          (12)
4+1+1+1+1        (5)
3+3+2            (3)
3+3+1+1          (6)
3+2+2+1          (12)
3+2+1+1+1        (20)
3+1+1+1+1+1      (6)
2+2+2+2          (1)    
2+2+2+1+1        (10)
2+2+1+1+1+1      (15)
2+1+1+1+1+1+1    (7)
1+1+1+1+1+1+1+1  (1)

Nb total de combinaisons : 128

Les arrangements étant calculés comme ceci : (nb de chiffres dans l'addition)!/[(nb de chiffres de type A)! x (nb de chiffres de type B)!]

Voilà en espérant de pas m'être trompé

Bonjour, pour une somme de 8, il y a 128 arrangements et pour une somme de 12, 2048.

Il y en a 2^(n-1) pour une somme de n.

Si l'on représente le nombre n par n unités (111111....111) on peut représenter l'une de ces sommes de façon unique en plaçant des +. Ex : 1 + 3 + 4 : 1+111+1111.

Il y a donc n-1 endroits où l'on peut placer ces + (entre les 1). Maintenant, pour chacune de ces possibilité, on choisit de mettre un + ou pas (2 choix). D'où 2^(n-1) possibilités.

salut sachant que U0 = 1 on trouve par la suite U1 = 2, U2 = 4, U3 = 8, U4 = 16 on en déduit donc que Un = 2^n et c'est une suite géométrique car U(n+1) = q * Un ou la raison q ici est égal a 2
donc U7 = 128 et U11 = 2048
Il y a donc 128 combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 8 et 2048  combinaisons pour que la somme des chiffres sur les cubes soit égale à 12

Salut a tous.

Après avoir fait plusieurs décompositions de somme j'ai trouver :
Pour la somme de 1, 1  combinaison
Pour la somme de 2, 2  combinaisons
Pour la somme de 3, 4  combinaisons
Pour la somme de 4, 8  combinaisons
Pour la somme de 5, 16 combinaisons
Pour la somme de 6, 32 combinaisons
Pour la somme de 7, 64 combinaisons

Nous remarquons alors lorsque la somme du nombre n passe au rang n+1 sont nombres de combinaisons double.
Et au premier rang n = 1 , on a 1 combinaison.
Donc nous pouvons on déduire que c'est un multiplie de 2 et on conjecturé une formule.

Question subsidiaire :

Soit le nombre de combinaisons pour la somme d'un nombre n, tel que :
    
      

Alors à n = 8  , on a   = 2⁷  = 128  combinaisons
      et n = 12 , on a = 2¹¹ = 2048 combinaisons

Groy

Clôture de l'énigme

Je ne suis pas fier de moi pour cette énigme : j'avais espéré en piéger davantage !

Ce problème est un merveilleux exemple de ce qu'on peut appeler une "fausse conjecture" : on essaie pour n=1, n=2, n=3, n=4 ... allez, encore quelques-uns ... puis on en déduit la formule générale, et on se dit que ça doit être ça !

Ici, le problème vient qu'on a que 9 chiffres, et que la formule générale 2^n-1 marche si on peut décomposer un nombre sous forme d'une somme de nombres. Donc, à partir de 10, ça ne marche plus !

Quelques-uns ont donné des indications pour obtenir la formule générale, mais elle est plutôt difficile à donner sous forme explicite : il faut pour cela résoudre une équation du 9ème degré, car on est en présence d'une suite récurrente d'ordre 9 !

manpower a donné un lien intéressant vers cette suite de nombres, qui correspondent à une généralisation des nombres de Fibonacci.

A tous ceux qui sont tombés dans le piège : soyez heureux, vous venez d'apprendre quelque chose d'intéressant et vous serez plus prudents à l'avenir ... car j'en connais d'autres des problèmes de ce type !

Et voilà, je me suis rendu compte de mon erreur après avoir posté, bien fait pour moi. Mais bon, je suis pas le seul à avoir mangé du poisson

bonjour

>jamo

tu aurais peut-être pu en piéger d'autres si tu n'avais mis qu'une seule étoile à ton énigme et pas évoqué de subsidiaire...

Pour les énigmes piégeuses, la forme a souvent plus d'importance que le fond ( cf. les énigmes sur les vers de J-P [url][/url] et de minkus )

Bonsoir,

75% de c'est un beau score...  

mika: ton lien n'est pas bon, il donne sur cette même énigme...

Dans le même genre d'énigme, il y a ceci:

(énigme que j'avais déjà posée... )

tu as du faire une erreur, lo, en oubliant le carré :

Un somme ardue!