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Ensemble de points
Bonjour !
J'ai un dm mais je ne sais pas du tout par ou commencer ..
Voici l'énoncé :
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC = 4
On note E l'ensemble des points M tels que MA²-2MB²+3MC² = k où k est un nombre réel donné.
A) G est le barycentre des points pondérés (A;1) (B;-2) (C;3)
1)a) Dessiner un figure et placer G (ça c'est fait)
b) Calculer GA², GB², GC²> Je pense qu'il faut utiliser la propriété fondamentale mais je ne sais pas comment l'exploiter.. après, il doit surement avoir des produits scalaires (comme je suis dans ce chapitre mais je ne vois pas ou .. )
2) Montrer que pour tout point M :
MA²-2MB²+3MC² = 2MG²+GA²-2GB²+3GC²
3) Déterminer l'ensemble E pour les valeurs suivantes de k
a)k=140 b)k=-60 c) k=-100
Pour l'instant, j'aimerai un peu d'aide, quelques pistes svp pour la question 1)b) car je ne sais par ou commencer
MErcii BeauCouP !
a+++
Bonjour,
1)b)
Pour tout M :
En vecteurs : 2GM = AM - 2BM + 3CM
Prends M=A :
En vecteurs : 2GA = 0 - 2BA + 3CA
Elève au carré :
4.GA² = (3.vecteur.CA - 2.vecteur.BA)²
J'ai fait cela vite.
Je te laisse vérifier et continuer.
Nicolas
Salut
comme l'a fait Nicolas_75
=(
)²
4AG² = 4AB² + 2(-2)(3) + 9AC²
or = 0 car (AB) perpendiculaire à (AC)
donc AG² = 1/4(4
9 + 916) = 45
ok ok , merci ! j'ai trouvé :
GA² = 45
GB² = 72
GC² = 13 j'espère que c'est bien ça
Par contre, pour la 2ème question : Montrer que pour tout point M... je ne comprends pas ..
pour la 2)
tu introduis le point G dans tous les termes à gauche de l'égalité ( ex : MA² = ()² ) et tu développes
merci mais quand je développe, ça donne :
2MG²+GA²-2GB²+3GC²+ 2MG.GA - 2MG.GB + 3MG.GC
les 3 derniers termes peuvent s'annuler ?? surement, mais je ne comprends pas comment.
mercii
est ce que ça donne ça :
2MG²+GA²-2GB²+3GC²+ MG.(2GA - 4GB + 6GC)
et comme g est barycentre de (A;1) (B;-2) (C;3): 2GA-4GB+6GC=0 ??
merci
Comme G est barycentre de (A;1) (B;-2) (C;3) : GA-2GB+3GC = 0 (en vecteurs).
C'est la définition même du barycentre.
j'ai encore fait une erreur,désolé, j'ai oublié de mettre 2 :
2MG²+GA²-2GB²+3GC²+ 2MG.(GA - 2GB + 3GC)
merci beaucouppp !!
j'aurai besoin d'encore un peu d'aide.
après cette première méthode pour un ensemble de points avec les vecteurs, la deuxième est avec les coordonnées :
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC = 4
On note E l'ensemble des points M tels que MA²-2MB²+3MC² = k où k est un nombre réel donné.
On pose 
=1/3vecteurAB et 
= 1/4vecteurAC
(A;;) est un repère orthonormé du plan
1) Quelles sont les coordonnées de A,B,C ?
2) On note (x;y) les coordonnées d'un point M.
Exprimer MA²-2MB²+3MC² en fonction de x et y (je pense qu'il faut utiliser les distances mais une fois de plus je ne sais pas trop .. )
Merciii!!
Bonjour !
J'ai un dm, j'aurais besoin d'un peu d'aide, quelques pistes.. Merci, voici l'énoncé :
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC = 4
On note E l'ensemble des points M tels que MA²-2MB²+3MC² = k où k est un nombre réel donné.
On pose =1/3vecteurAB et = 1/4vecteurAC
(A;;) est un repère orthonormé du plan
1) Quelles sont les coordonnées de A,B,C ?
2) On note (x;y) les coordonnées d'un point M.
Exprimer MA²-2MB²+3MC² en fonction de x et y (je pense qu'il faut utiliser les distances mais une fois de plus je ne sais pas trop .. )
Merci beaucouppp ! !
a+++
*** message déplacé ***
Bonsoir,
en effet, je pense qu'il faut utiliser les distances :
MA² = (x - xA)² + (y - yA)²
....
*** message déplacé ***
après par contre, je dois déterminer avec ce que j'ai trouvé (2x²+2y²+12x-24y+30 ) l'ensemble E pour les valeurs suivantes de k : a)k=140 b)k=-60 c)k=-100 .
mais je ne sais pas comment faire 
Merci !
Pourquoi doutes-tu ?
maintenant, il faut arranger un peu ton expression pour regrouper les x et regrouper les y, et faire apparaître des carrés :
2x²+2y²+12x-24y+30 =
2 (x² + 6x + 9) - 18 + 2 (y² -12y +36) - 72 + 30 =
2 (x + 3)² + 2 (Y + 6)² - 60
je te laisse finir...
......
ok,merci !
après je peux directement écrire l'égalité 2 (x + 3)² + 2 (Y + 6)² - 60 = 140 pour la a) par exemple, non ?
Ce qui donne a) 2 (x + 3)² + 2 (Y + 6)² = 200
b) 2 (x + 3)² + 2 (Y + 6)² = 0
c) 2 (x + 3)² + 2 (Y + 6)² = -40
mais je ne comprends pas a quoi cela correspond par rapport aux ensembles de points M que je dois trouver ,désolée mais je suis un peu perdue
merci beaucoup !
a) 2 (x + 3)² + 2 (Y + 6)² = 200
<=> (x + 3)² + (Y + 6)² = 10²
C'est l'équation d'un cercle de centre (-3 ; -6) et de rayon 10.....
Tu essaies de faire les autres ?
.......
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