Niveau première

ensemble de points et produit scalaire

Posté par cecenono (invité) 24-02-06 à 00:55

bonsoir, j'ai beaucoup de mal avec les produits scalaires et leurs applications. J'aurais besoin de votre aide s'il vous plait.voici l'énoncé:

A et B sont deux points donnés et O est le milieu de [AB].AB= 2d.
A tout point Mdu plan on associe un nombre réel que l'on note f(M). On définit ainsi une fonction du plan dans R, M→f(M). On fixe un nombre réel k, le but est de trouver l'ensemble de tous les points M tels que f(M) =k. On note Lk cet ensemble.
Voici la figure:

Ici, f(M)= vecteur AB scalaire AM et Lk est l'ensemble des points M tels que AB scalaire AM=k

1. Prenos M dans Lk est notons H le projeté orthogonal de M sur (AB)
a. Justifiez les égalités AB scalaire AM = AV scalaire AH = k
b. Déduisez en que H est dans Lk et que AH = !k!/2d
c. précisez suivant le signe de k, la position de H sur la droite (AB)
d. Déduisez de la question précédente que M est un point de la droite fixe DELTA à préciser.

2.Dans la question précédente, on a prouvé que si M est dans Lk, alors M est sur DELTA.
pour conclure que Lk = DELTA, il est nécéssaire de répondre à la question: tout point de DELTA est-il un point de Lk?
a. Prouvez que si N est sur DELTA, alors AB scalaire AN = k
b. Concluez.

voila.
alors la questian a. du 1, j'y est réussi, c'est pas trop compliqué, mais toue les autres questions, je n'y arrive pas.

Dans la mesure du possible, pourrais-je avoir des explications sur les autres questions?
Je vous remercie d'avance et vous souhaite une bonne soiré, enfin une bonne nuit!!

ensemble de points et produit scalaire

Posté par cecenono (invité)re : ensemble de points et produit scalaire 24-02-06 à 00:59

Désolé, je viens de me relire et j'ai fait des fautes.
pour AV scalaire AH, c'est AB scalaire AH
Si j'ai fait d'autres erreurs et que vous ne comprennez pas dites le moi
Merci

Posté par cecenono (invité)re : ensemble de points et produit scalaire 04-03-06 à 17:40

S'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide

Posté par re : ensemble de points et produit scalaire 05-03-06 à 10:13

Bonjour

1)
a) $\vec{AB}.\vec{AM}=\vec{AB}.(\vec{AH}+\vec{AM}) = \vec{AB}.\vec{AH} + \vec{AB}.\vec{HM}=\vec{AB}.\vec{AH}$ car (AB) et (HM) sont perpendiculaires.
Or $\vec{AB}.\vec{AM}=k$ donc $\vec{AB}.\vec{AH}=k$

b)Tous les points de Lk sont les points P tels que $\vec{AB}.\vec{AP}=k$ . On vient de prouver à la question précédente que $\vec{AB}.\vec{AH}=k$ .
Donc H Lk.

$\vec{AB}.\vec{AH}=||\vec{AB}||\times ||\vec{AH}||\times \cos(\vec{AB},\vec{AH})$ . Or $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires car H (AB). Donc $(\vec{AB},\vec{AH})=0\,ou\,180$ , donc $\cos(\vec{AB},\vec{AH})=\pm 1$ .
Finalement, si on prend les valeurs absolues, on obtient, $|k|=|\vec{AB}.\vec{AH}|=|||\vec{AB}||\times ||\vec{AH}||\times \cos(\vec{AB},\vec{AH})|= AB \times AH \times 1=AB \times AH$ . Or AB=2d, donc
$|k|=2d\times AH$ , c'est-à-dire $AH=\frac{|k|}{2d}$ .

Remarque : on peut aussi raisonner avec les valeurs algébriques (c'est plus rapide et cela revient au même), mais je ne sais pas si tu l'as vu en cours :
Comme $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires, $\vec{AB}.\vec{AH}=\bar{AB}\times\bar{AH}$
Donc $|k|=|\vec{AB}.\vec{AH}|=|\bar{AB}\times\bar{AH}|=AB\times AH$ . Donc $AH=\frac{|k|}{2d}$

c) On a $\vec{AB}.\vec{AH}=||\vec{AB}||\times ||\vec{AH}||\times \cos(\vec{AB},\vec{AH})$ avec $\cos(\vec{AB},\vec{AH})=\pm 1$ .
Si  k>0, $\vec{AB}.\vec{AH}>0$ cela veut donc dire que $\cos(\vec{AB},\vec{AH})= 1$ donc $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont dans le même sens. Donc H est sur (AB) tel que $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont dans le même sens.
Si  k<0, $\vec{AB}.\vec{AH}<0$ cela veut donc dire que $\cos(\vec{AB},\vec{AH})= -1$ donc $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont dans le sens contraire. Donc H est sur (AB) tel que $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont dans le sens contraire.

d) Conclusion : M est sur la droite qui est perpendiculaire à (AB) et passant par H, tel que AH=|k|/2d et si k>0, $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont dans le même sens et si k<0, $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont dans le sens contraire.

2) Cette question est la réciproque de ce que l'on vient de démontrer. En effet, dans 1) on a montrer que si M Lk, alors M .
Maintenant, on va prouver que si on prend un point N de , alors  N Lk.
Ceci va donc nous permettre de montrer que Lk=.
a) Soit N .On rappelle que est perpendiculaire à (AB) et passe par H.

Alors $\vec{AB}.\vec{AN}=\vec{AB}.(\vec{AH}+\vec{HN})=\vec{AB}.\vec{AH}+ \vec{AB}.\vec{HN}=k+0=k$ car (AB) et (HN)= sont perpendiculaires.
Donc on a $\vec{AB}.\vec{AN}=k$ .
b) On a donc N Lk.
Conclusion finale : Lk=.

En espérant t'avoir aidé,
sauf erreur,
ManueReva

Posté par cecenono (invité)re : ensemble de points et produit scalaire 05-03-06 à 16:24

merci beaucoup ManueReva pour ton aide
je commence a comprendre.

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