Salut,
bein non parce qu'un ensemble dénombrable est infini, tu le dis toi même.
Cependant, dans le langage courant, il arrive souvent que l'on considère le cas fini comme un cas particulier du dénombrable.

Merci Otto

C'est le mot dénombrable qui perturbe en fait, je voyais ça comme " on peut compter les éléments de notre ensemble ". C'est en fait un peu plus poussé que ça ...

(Re)bonsoir Rouliane

En fait, il y a "2 définitions" de la dénombrabilité. Pour ma part, la définition que je prends en compte est celle que tu énonces, qui implique donc qu'un ensemble dénombrable est nécessairement infini.
La 2ème définition est la suivante : un ensemble E est dit dénombrable s'il existe une application injective de E dans . Celle-ci, par contre, englobe les ensembles finis.

Kaiser

En retard !

Pour ma part, je préfère la 1e définition, qui est la seule que j'ai vue. Elle permet par exemple d'énoncer certains résultats, comme celui sur la non complétude des espaces vectoriels de dimension dénombrable.

En fait c'est un détail, avant on utilisait le terme "indéfini dénombrable" en opposition au terme dénombrable, qui était l'équivalent de la deuxième définition de Kaiser.
Pref, du pinaillage pour pas grand chose, mais il faut s'accorder sur une définition une fois pour toute...

Merci Kaiser pour ces précisions.
Je ne connaissais pas la définition 2 .

En tout cas, merci, on moins c'est clair maintenant, tout dépend de la définition qu'on prend même si, après quelques recherches sur le net, je n'ai trouvé que la définition 1 .

Salut Rouliane!

j'avais vu en spé la définition suivante:
un ensemble est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijecton avec N.

donc il n'y a pas de soucis!l'ensemble E que tu proposes est bien dénombrable.

j'avais vu également les 2définitions qu'a énoncées Kaiser.

Bonne soirée!

Merci Tatyi

Tout dépend donc de la définition que l'on choisit...

Encore une petite question : on a le théorème suivant :

"Toute partie A de est au plus dénombrable."

Je ne comprends pas trop ce que signifie le  " au plus dénombrable "

toute partie de ne serait pas forcément dénombrable ( y'a peut-etre un contre-exemple )

Merci

Bein non, il y'a aussi les parties finies
a+

Ah ok, tout dépend donc, encore une fois, de la définition ...

Si on prend la définition 2  de Kaiser, on a bien "Toute partie A de est dénombrable." ?

Sinon, au plus dénombrable, ça signifie dénombrable ou indénombrable , c'est bien ça ?

non c'est l'inverse, ca signifie que tu n'as pas plus gros que dénombrable.
Le problème ne vient pas de la définition, la seule définition acceptée est celle de la bijection entre N et ton ensemble. Les autres ne sont pas des définitions valables, même  si on aurait envie de dire qu'un ensemble fini est dénombrable, aucun livre ne donne cette définition.
a+

Qu'est ce que "plus gros que dénombrable" stp ?

"Plus gros que dénombrable" signifie avoir un cardinal supérieur.
Si A et B sont deux ensembles, alors #A < #B s'il existe une injection de A vers B.
On défini également l'inégalité dans l'autre sens par l'existence d'une surjection.
Le théorème de Cantor Berstein affirme que si #A < #B, alors #B > #A.
Ca permet donc d'avoir une définition concordante de "être plus gros que".
# = card

a+

Ok, merci

Je ne comprends pas ça : Le théorème de Cantor Berstein affirme que "si #A < #B, alors #B > #A" ??


#A < #B, c'est pas pareil que #B > #A ?

Salut,
justement à la vue des définitions que je donne, ce n'est pas du tout trivial dans le cas général, même si ca l'est dans le cas des ensembles finis.

Bonjour Rouliane,
Plus gros que dénombrable signifie un ensemble X tel qu'il existe une injection de N dans X, mais aucune bijection. Voici un exemple: Soit X l'ensemble des parties de N. Si a n je fais correspondre le singleton {n} j'ai bien sûr une injection.
Supposons qu'il existe une surjection F de N sur X. Soit A l'ensemble des x de N tels que x n'appartienne pas à F(x). Puisque F est supposée surjective, il existe a telle que A=F(a). Alors si a est dans F(a) on ne peut avoir a dans A et si a n'est pas dans F(a), a devrait être dans A. Il est donc impossible d'avoir A=F(a), et il n'existe aucune surjection de N sur X.

Avec ta définition de "dénombrable", un ensemble "au plus dénombrable" est un ensemble fini ou dénombrable.

Merci à vous

Je vais étudier ce soir ce que tu me dis Camélia, quand j'aurais l'esprit plus frais !

j'ai bien compris ta démo Camelia,  merci d'ailleurs, mais par contre, je n'arrive pas à visualiser l'ensemble A.
Plus précisement, je n'arrive pas à voir comme un élément x de N peut ne pas appartenir à F(x) .. si tu avais un exemple, ça m'aiderait bien

Sinon, si j'ai bien compris, ce qu'on a montré là c'est qu'il existe des ensembles non dénombrables , car il n'existe pas de bijection entre N et P(N) ... c'est ça ?


Rouliane

Imagine que ta fonction F est la fonction qui à un entier naturel n associe l'ensemble de ses diviseurs premiers.
Dans ce cas, n appartient à F(n) si et seulement si n est premier. Ainsi A est tout simplement l'ensemble des nombres premiers.

J'oubliais : effectivement, ce qui a été montré est qu'il existe des ensembles qui ne sont pas dénombrables.

Je viens de mettre la main sur ce topic qui date un peu mais qui pourrait t'intéresser ! IR n est pas dénombrables

Merci Kaiser.

Conçernant ton message de 23:12, A est plutot l'ensemble des nombres non premiers, non ?
En effet, un nombre premier ne peut pas appartenir à A car si n est premier, F(n)=n.

Sinon, merci pour le lien, j'étais justement en train d'aborder ça !

Petite question supplémentaire : c'est facile de trouver une application bijective de N dans Z, mais je voulais savoir si on ne pouvais pas justifier plus rapidement de la dénombrabilité de Z.
En effet N=Z+,donc dénombrable, et il est évident alors que Z- sera dénombrable, mais existe-til un théorème pour justifier ça ?

Je voulais bien sur écrire F(n)={n}

Effectivement, je me suis gourré ! A est bien l'ensemble des nombres non premiers.
Par contre, il faut faire attention car pour tout n, F(n) est un ensemble, donc il faut mettre des accolades. On a .

Pour ta question supplémentaire, on peut utiliser le fait que l'union de 2 ensemble dénombrables est dénombrable mais ce résultat se montre à peu près de la même manière que la dénombrabilité de en explicitant une bijection.
Sinon, pour le résultat que je viens de t'énoncer, ça vien d'un résultat encore plus général : l'union au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable.

Kaiser

Merci

Je vais réfléchir à ta dernière phrase

:D

Traduction de la phrase :

Soit I un ensemble au plus dénombrable d'indices et une famille d'ensembles tels que pour tout i, est au plus dénombrable, alors est au plus dénombrable.

C'est mieux ou c'est pire !

C'est mieux, mais ça me donne autant mal à la tête ...
C'est le "au plus dénombrable" que je n'arrive toujours pas à me rentrer ...
Je vais aller reposer mon cerveau, je reprendrai ça demain au frais

Bonne soirée, et à bientôt,

Rouliane.

Il faut se dire que "au plus dénombrable"="fini ou dénombrable".

Bonne soirée à toi aussi !

Bonjour Rouliane
L'exemple de kaiser est tout à fait correct. En voici d'autres: F(n)={n,n+1} alors A est vide.
F(n)= {n+1,n+2} alors A=IN!
Juste pour compliquer un peu les choses, mais pour que tu comprennes le "plus que dénombrable": L'ensemble des rationnels est dénombrable (étonnant, non?) mais surtout, IR (les réels) ne l'est pas. Si vraiment ça t'intéresse, j'ai une démonstration pas trop compliquée (dûe à Cantor).
A bientôt!

Bonjour Camélia

Je sais que ce n'est pas nécessairement adapté (ça demande entre autre des connaissances dans un autre domaine, tandis que la preuve de Cantor utilise simplement la théorie des ensembles) mais je préfère une preuve de ce style, plutôt que celle de Cantor qui est rarement faite de manière rigoureuse (un nombre réel pouvant posséder deux développements décimaux...)

Q est dénombrable, donc l'ensemble des nombres algébriques sur Q est également dénombrable.
On sait que tout sous ensemble dénombrable de R est de mesure de Lebesgue nulle.
Ainsi la mesure de tout sous ensemble de R est porté par les transcendants (resp. rationnels si on veut s'y limiter) et par contraposition, leur ensemble est nécessairement indénombrable. (ou alors la mesure de Lebesgue n'existe pas)

Bonjour kaiser
En effet, ma preuve est à peu près celle du lien que je n'avais pas regardée (entre parenthèses, je tiens compte du manque d'unicité du développement décimal).

Bonjour otto: Bien sur, l'argument sur la mesure des transcendants est imparabale, mais il suppose des connaissances encore plus avancées sur la mesure de Lebesgue (petite question au passage, ça doit aussi marcher avec la mesure de Riemann, non?)
Personnellement, pour démontrer à des jeunes l'existence de l'infini non dénombrable, j'ai toujours préféré l'argument que j'ai donné en premier: card(X)
Enfin, bonjour Rouliane qui nous a permis cet échange de vues!

Bonjour à tous,

Merci à vous !

C'est vraiment intéressant la dénombrabilité ... je vais essayer de trouver quelques cours la dessus, pour trouver notamment la démo de " toute partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable " ( maintenant que je comprends ce que veut dire "au plus dénombrable" ), qu'on utilise pour montrer que R n'est pas dénombrable.

Rouliane

Bonjour!
Card N= [N]=alef zero.Un ensemble est infinite denombrable ssi cardA=alef zero
Un ensamble A est denombrable si A est finite ou infinite denombrable.
Card Q =Card N=alef zero. Card R=c(puissance de continuum).
Card[0,)=Card[0,1),bijection ,f(x)=
Card (-1,1)=Card R=c, bijection
Card (o,)=Card R=c,bijectionf(x)=Lnx
a<b ,Card(a,b)=Card (0,),bijection f(x)=

Rouliane>Pour ce qui est du résultat que tu cherches, tu peux toujours t'appuyer sur celui que tu énonces dans ton message posté le 20/08/2006 à 21:24.

À moins que tu cherches également la démonstration de ce théorème.

Oui, merci Kaiser, j'y avais pas pensé , j'ai trouvé une démo, faut le temps que je la comprenne.

Petit question, mais qui me semble évidente : si 2 ensemble A et B sont en bijection, alors une partie de A est forcement en bijection avec une partie de B ?

Est-ce que tu veux dire que ceci est vrai pour toute partie ?

Non, si je prend une partie de A, il existe une partie de B telle que A et B soient en bijection ...

Dans ce cas, ceci est vrai si A et B sont des ensembles au plus dénombrables.
En général, ça ne semble plus aussi évident.

je me suis mal exprimé : je me demandais ça en fait pour voir comment utiliser le théorème de 21:24 afin de prouver ensuite que toute partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

Soit A un ensemble dénombrable. Il est donc en bijection avec N.
Or je veux pouvoir dire ensuite : "donc toute partie de N est dénombrable"
Je me demande donc si je peux dire que toute partie de A sera forcément en bijection avec une partie de N ( il existera une partie de N etc .. )

il faut lire "donc toute partie de A est dénombrable"

En fait, c'est bien ce que j'avais compris, mais je me suis mal exprimé. (quand je disais vrai pour toute partie, je sous-entendais "pour toute partie de A", il existe une partie de B tel que ...).

Sinon, après mûre reflexion, ceci est en fait évident puisque si f est une bijection de A sur B, alors si X est une partie de A, alors la restriction de f à X est une bijection de X sur f(X).