Bonsoir, injective c'est que si deux z sont différents alors leur image aussi.
Même en ne considérant que les z réels et en regardant la courbe f(x)=(x+1/x)/2
on voit bien que l'on peut trouver facilement des x différents qui donnent la même image, donc elle n'est pas injective.

Surjective c'est tout élément est atteint. donc pose l'équation a = ( z + 1/z )/2 et regarde si pour tout a il existe un z qui satisfait cette équation.

Je ne vois pas la facilité à trouver deux x différents pour lesquels leurs images sont égales..

Et pour la surjectivité, j'arrive à : z² - 2aZ +1 = 0
Du coup, je fais = 4(a² - 1 ), le signe de dépend du signe de a²-1 donc de a, donc il n'existe pas un z qui satisfait l'équation pour tout a. Cela suffit-il pour dire qu'elle n'est pas surjective ?

Ben si, si tu coupes la courbe avec une droite y=m tu vois bien que ça coupe la plupart du temps en deux points distincts. Ces deux points ont le même y et des x différents. résout f(x)=a c'est du second degré, tu vas trouver deux x solutions.

Pour la surjectivité, ça ne va pas ta démonstration. tu es dans le corps des complexes et une équation du second degré a toujours une solution. Le coup du discriminant négatif c'est pour les solutions réelles. Elle est donc bien surjective.

J'viens de résoudre l'équation f(x)=a pour l'injectivité, j'ai compris merci ^^
Par contre pour la surjectivité, du coup, je ne vois pas comment le démontrer.. Que dois-je faire avec le discrimant = 4(a²-1) ?

Rien de spécial. tu dis que dans une équation du second degré a toujours au moins une solution et donc que que pour tout a il existe un z au moins tel que z² - 2az +1 = 0 et donc que l'application f est surjective.

Ah d'accord. Merci beaucoup pour ton aide !