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entiers naturels - problème

Posté par kenobiseb (invité) 27-09-06 à 15:53

salut à tous
j'ai un problème sur un exo de DM en spé maths dont voici lénoncé :

Démontrer qu'un entier naturel est le carré d'un entier si et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition de facteurs premiers sont pairs.

merci d'avance pour votre aide.

édit Océane

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:00

Bonjour,

Quel sens est le plus simple ? Commence par démontrer celui-la.

Nicolas

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:02

euh
ds ce sens-là : <= ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:03

Je suis d'accord. Au boulot !

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:04

mais on a pas appris à décomposer en produit de facteurs premiers ...

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:05

Tu peux me passer la méthode stp ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:06

C'est sur que vous avez vu la forme d'une décomposition en facteur premiers !

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:06

Je te jure que non.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:08

Un nombre quelconque n peut se décomposer en facteurs premiers :
5$n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}
où les pi sont des nombres premiers, et les alpha_i des entiers naturels non nuls

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:10

mais comment on fait pour appliquer cette formule ?
j'en suis incapable puisqu'on l'a jamais utilisée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:10

Dans notre cas, on suppose que les exposants sont pairs :
5$n=p_1^{2\beta_1}\times%20p_2^{2\beta_2}\times%20...\times%20p_k^{2\beta_k}

Donc n est un carré. Pourquoi ? De quel nombre ?

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:13

je suis désolé, j'ai beau chercher, je suis pommé

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:16

Attends...

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:17

ok prends ton temps, je réessaie aussi de mon côté

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:19

On veut montrer que, si tous les exposants dans la décomposition de facteurs premiers d'un entier sont pairs, alors cet entier est un carré

Soit n un tel entier.
Sa décomposition en facteurs premiers est la suivante :
3$n=p_1^{\alpha_1}\times%20p_2^{\alpha_2}\times%20...\times%20p_k^{\alpha_k}
Nous savons que tous les exposants sont pairs, donc :
3$n=p_1^{2\beta_1}\times%20p_2^{2\beta_2}\times%20...\times%20p_k^{2\beta_k}
3$n=\left(p_1^{\beta_1}\times%20p_2^{\beta_2}\times%20...\times%20p_k^{\beta_k}\right)^2
Donc n est le carré d'un autre entier naturel.
CQFD

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:22

ah c'est si simple ? merci beaucoup !

ds l'application, ils demandent : Déterminer le plus petit nombre non nul dont le produit par 13608 est le carré d'un entier naturel.
j'utilise cette méthode ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:29

N'oublie pas l'autre sens.

Je réponds à l'application sous peu.

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:30

merci beaucoup !
pendant ce temps, j'essaie dans l'autre sens ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:30

3$13608 = 2^3\times 3^5\times 7^1
Par quoi faut-il multiplier ce nombre pour avoir tous les exposants pairs ?

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:32

par 2 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:33

Tu as alors tous les exposants pairs ?
Non...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:33

3$13608\times 2=%202^4\times%203^5\times%207^1
Cela ne suffit pas...

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:34

par 2*3*7=42 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:36

Et oui !

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:37

donc c'est ca "le plus petit nombre non nul dont le produit par 13608 est le carré d'un entier naturel" ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:39

Absolument.

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:40

derniere petite question : c'est par le hasard que tu as trouvé les chiffres 2^3, 3^5 et 7^1 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:41

Non. J'ai cherché à décomposer 13608 en facteurs premiers.
D'abord en divisant par 2 autant que possible.
Puis par 3, 5 et 7.

Posté par kenobiseb (invité)re : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:44

D'accord.
Merci vraiment pour ton aide, j'étais vraiment bloqué !
Allez à plus.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : entiers naturels - problème 27-09-06 à 16:47

Je t'en prie.


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