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equa.diff
Bonjour!
Soit p un polynome. Il faut que je montre que chaque solution y:
de 'équation différentielle y'(x)=y(x)+p(x) est de la forme: y(x)=k*exp(x)+q(x) avec k qui est une constante et q(x) qui est un polynome. ensuite il faut que je trouve q pour p(x)=x^2009
Voici ce que j'ai pour l'instant:
y'=y
dy/dx=y
(1/y)dy=1 dx
(1/y)dy=1 dx
log(y)=x
y=exp(x) on a donc:
y(x)=exp(x)*c(x)
y'(x)=exp(x)c(x)+exp(x)c'(x)
y'(x)=exp(x)c(x)+p(x)
On tombe donc sur c'(x)=p(x)/exp(x) d'où c(x)=p(x)*exp(-x) dx
Je n'avance plus j'espère que vous pouvez m'aider
Merci d'avance!!
Bonsoir.
Tu peux étudier l'application f : IRN[X] IRN[X]
définie par f(P) = P' - P
Tu montreras aisément que c'est un endomorphisme.
En cherchant les images de la base canonique de IRN[X], tu verras que la matrice associée à f est triangulaire supérieure avec des -1 sur la diagonale.
Conséquence : f est un automorphisme de IRN[X].
Utilisation : pour tout polynôme p, l'équation : y' - y = p possède comme solution une unique fonction polynômiale q.
Si tu ne dispose pas de connaissances en algèbre linéaire, tu peux également dire que :
par des intégrations par parties successives :
est on obligé d'essayer de résoudre ca avec des matrices? on ne peut pas tout simplement essayer en appliquant les formule?
j'essaye de résoudre y'(x)=y(x)+x^2009 je tombe sur
y(x)=exp(x)*c(x)
c'(x)=x^2009*exp(-x) d'où c(x)=x^2009*exp(-x)dx...comment faire pour trouver q?
Pour le moment, je ne vois pas d'autre solution que de poser :
de chercher y' puis d'écrire :
Ensuite, par identification on cherche les constantes
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