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Equa diff et circuit électrique.
Bonjour,
j'ai un gros soucis pour faire cet exo, pouvez vous m'aider.
1) Intégrer l'équation différentielle :
avec
et
constantes.
2) Soit un circuit électrique comportant en seréie une résistance R, un condensateur C, une force électromotrice E et un interrupteur I que l'on ferme à l'instant t=0. Sachant qu'à l'instant t, la charge q du condensateur satisfait à l'équation:
trouver l'expression de q(t) si, à l'instant t=0, on a q=0.
3)Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation :
.
Quelle est la solution correspondante à la condition initiale y=0 pour x=0?
j'aimerais vraiment un coup de main, j'ai pas vraiment compris la notion d'equation différentielle.
merci beaucoup
Salut,
Par "intégrer", faut-il comprendre "résoudre" ?
Si, oui alors on commence par résoudre l'équation différentielle sans second membre :
soit
Donc avec
Ensuite, on cherche une solution particulière de l'équation différentielle, ici de la même forme que le second membre, c'est-à-dire constant (c'est pour de la physique ?).
On a donc soit
Les solutions générales de l'équadiff sont donc les fonctions o définies par
Pour la question 2) on a : et
Il suffit de remplacer dans la solution trouvée à l'équation précédente...
La condition initiale te permettra de déterminer A.
Pour la question 3), cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme du second degré.
Tout d'abord, merci du coup de main, fort précieux.
Pour la première question, il est bien noté dans l'énoncer qu'il faut intégrer, je ne sais pas si on veux dire résoudre.
Ensuite pour A je trouve: .
Enfin, pour la question 3) je vois pas comment procéder exactement. Pouvez vous m'éclairer d'avantage?
Merci beaucoup
1)
Solutions de l'équation avec second membre = 0.
y = A.e^(-wo².t)
---
Sol particulière de l'équation avec second membre normal.
y = Ko/wo²
---
Sol générales:
y = Ko/wo² + A.e^(-wo².t)
-----
2)
En remplaçant y par q, wo² par 1/RC et Ko par E/R on a directement:
q(t) = E.RC/R + A.e^(-t/(RC))
q(t) = E.C + A.e^(-t/(RC))
q(0) = 0 --> 0 = E.C + A.e^0
A = -E.C
--> q(t) = E.C.(1 - e^(-t/(RC)))
----------
3)
Solutions de l'équation avec second membre = 0.
y = A.e^x
Une solution particulière de l'équation avec second membre bormal est de la forme:
y = f(x).e^x
dy/dx = f '(x).e^x + f(x).e^x
dy/dx - y = f '(x).e^x + f(x).e^x - f(x).e^x
dy/dx - y = f '(x).e^x = x²
f '(x) = x².e^-x
---
Poser x² = u --> 2x dx = du
et poser e^-x dx = dv --> -e^-x = v
---
Poser x = u --> dx = du
et poser e^-x dx = dv --> -e^-x = v
---
---
Solution générales de l'équation dy/dx - y = x² :
y(0) = 0 --> 0 = 2 + A, soit A = -2
-----
Sauf distraction. A vérifier. 
Ma distraction est facile à trouver.
Dans ma réponse du 22/10/2006 à 11:19
Pour la solution particulière
On a y = f(x).e^x
On arrive ensuite à f(x) = -e^-x .(x²+2x+2)
Et donc une solution particulière de l'éq avec second membre normal est :
y = f(x).e^x
y = -e^-x .(x²+2x+2).e^x
y = -(x²+2x+2)
----
Solution générales de l'équation dy/dx - y = x² :
y = -(x²+2x+2) + A.e^x
et y(0) = 0 --> A = 2
Donc finalement:
y = -(x²+2x+2) + 2.e^x
-----
merci beaucoup de m'avoir prévenu de l'erreur, j'avoue que je l'avais pas vu étant donné que cette notion est assez abstraite pour moi.
merci beaucoup et bonne soirée!
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