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Equa diff et série entière

Posté par
Bradveto 27-11-09 à 10:48

Bonjour,

Voici l'exercice qui me pose des problèmes:
soit h la fonction définie sur ]0,1[ par
h(x)=\frac{arcsin(\sqrt(x)}{\sqrt(x-x^2)} si x ]0,1[
      1 si x=0
1) Démontrer que h est de classe C1 sur [0,1[ et calculer h'(0)
2) Déterminer une équation différentielle du premier ordre dont h est une solution sur [0,1[
3) En déduire un développement en série entière de la fonction h sur [0,1[

Les questions 1 et 2 je les ai résolu
Pour la 2), je trouve h'(x)=\frac{1}{2(x-x^2}-h(x)\frac{1-2x}{2(x-x^2)}
donc j'en déduis l'équation différentielle 2(x-x^2)y'+(1-2x)y=1 (E)
On passe à la 3), celle qui me pose problème.
Je résoud 2(x-x^2)y'+(1-2x)y=0 en posant y(x)=\sum_{n \ge 0}a_n x^n (comme dans mon cours)
et je trouve a_n=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}a_0
De là je ne vois pas comment passer à (E).

Merci de votre aide
Amanda

Posté par
Camélia Correcteurre : Equa diff et série entière 27-11-09 à 14:30

Bonjour

Tu résolves directement (E) en posant y(x)=\sum a_nx^n. Le 1 du second membre démarrera la récurrence!

Posté par
Bradvetore : Equa diff et série entière 27-11-09 à 15:04

Alors je trouve \sum_{n \ge 0} [(2n+1)a_n -2n a_{n-1}]x^n=1
et la on a le droit de mettre (2n+1)a_n -2n a_{n-1}=1?

Posté par
Camélia Correcteurre : Equa diff et série entière 27-11-09 à 15:14

Non, le second membre est 1+0\times x+0\times x^2+...+0\times x^n +...

Donc tu trouves en degré 0: a_0=1, en degré 1, 2a_1+a_1-2a_0=0, d'où a_1=2/3 et une formule générale à partir du degré 2 (avec l'entrée en jeu du x^2 en facteur de y'.

Posté par
Bradvetore : Equa diff et série entière 27-11-09 à 15:27

Je récapitule donc j'ai
a_0=1
a_n=\frac{2n}{2n+1}a_{n-1} pour n1 (car on a le bon résultat pour n=1)
apres je vais trouver y(x)=a_0+\sum_{n\ge1} a_n x^n.
Je crois que j'ai compris, je n'avais pas pensé à ça.

Merci pour l'aide

Posté par
Camélia Correcteurre : Equa diff et série entière 27-11-09 à 15:49

Tu es sur(e) que c'est déjà bon pour n=1? Si oui, à la fin tu vas trouver des "vrais" nombres pour les a_n, puisque tu les auras en fonction de a_0=1

Posté par
Bradvetore : Equa diff et série entière 27-11-09 à 16:28

En fait par récurrence je trouve le même résultat que j'avais donné à l'origine mais
en fonction de a0 et comme a0=1, je retrouve le même résultat.
Mon problème avant était que je me retrouvais avec y(x)=\sum_{n\le 0} a_n x^{n+1}
donc la suite de mon exercice (que je n'ai pas marqué ici) me posait des problèmes de finalisation.
Maintenant j'ai bien du x^n donc ça fonctionne.
Encore merci pour l'aide.

Posté par
Camélia Correcteurre : Equa diff et série entière 27-11-09 à 16:32


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