Salut

Il n'existe pas de méthode générale à ma connaissance pour résoudre un polynôme de degré 6,
Il faut donc chercher les racines évidentes, ici c'est claire on en trouvera pas...

Donc tout ce que tu peux faire c'est trouver un approximation de la solution,

Si on pose on voit que la fonction est décroissante sur et croissante sur

De plus et        |         et

Et là tu utiliser le TVI etc je te laisse conclure pour cette partie là

Si tu veux un encadrement plus précis de tes solutions tu prends ta calculatrice

effectivement à partir du degré 4, on ne peut plus faire grand chose à part factoriser par des racines évidentes...

merci

Plus exactement, à partir du degré 5, on ne peut plus résoudre systématiquement avec des radicaux (groupe de galois insoluble).
Pour les degrés 1-4 il existe des méthodes générales.

Dans ce cas:

On peut constater (par l'absurde, avec un peu d'arithmétique) que cette équation n'a pas de racine rationelle, donc pas possible (en tous cas peu probable) de trouver une racine évidente.

Par une étude de fonction (cf olive_68) on voit qu'il existe effectivement exactement 2 racines réelles (probablement non déterminables), donc 4 racines complexes distinctes, conjuguées par paires.

De plus, on peut passer sur C, étudier P', qui est alors scindé à racines simples (de racines (1/6)^(1/5)*U5)  [U5 étant le'ensemble des racines 5e de l'unité]
D'après le théorème de Gauss-Lucas, on en déduit que les racines de P, dans le plan complexe, sont toutes en dehors du pentagone régulier de rayon (1/6)^(1/5), et dont l'un des sommets est (1/6)^(1/5).

Enfin, en remplaçant les racines de P' dans P, on constate qu'elles ne sont pas racines de P, P est donc scindé à racine simples.

C'est à peu près tout ce que l'on peut dire.

Houlala non, mon ptit paragraphe sur Gauss Lucas est faux, plutôt:
L'enveloppe convexe des racines de P contient ce pentagone (car il est convexe).