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Equation admettant une solution imaginaire pure

Posté par Dahevos (invité) 23-11-06 à 20:36

Voici l'énoncé :

Montrer que l'équation z²-(1+3i)z+4+4i=0 admet une solution imaginaire pure que l'on déterminera.

Voici mon raisonnement :

- J'ai tout d'abord essayé de me ramener a une équation du type z=a+bi en factorisant et en simplifiant, mais rien n'y fait, je tombe toujours sur du z²-(1+3i)z = -4 -4i, que je n'arrive pas a simplifier et a résoudre !
- J'ai ensuite essayé de remplacer z par son expression algébrique : z=a+ib ... mais rien n'y fait, je tombe sur des équations irésolubles ...
- Après avoir prié le dieu des maths de me donner son ultime savoir, j'ai essayé de changer de variable avec Z=z², mais je tombe toujours sur une impasse.

Merci d'avance de votre aide ^^ ( piste de raisonnement par exemple )

Posté par
infophile
re : Equation admettant une solution imaginaire pure 23-11-06 à 20:41

Bonsoir

Tu as oublié la possibilité d'utiliser le discriminant

Posté par Dahevos (invité)re : Equation admettant une solution imaginaire pure 23-11-06 à 21:18

Hum c'est vrai, même si en cours on a pas encore vu le cas d'un delta étant de la forme a+bi...
Après moult recherche sur le net et sur ce forum, j'ai compris qu'il fallait que je trouve un nombre complexe dont le carré est égale à mon discriminant ... qui est égale à - 24 - 10i.

N'existe t'il pas une méthode simple et efficace pour trouver un nbr complexe dont le carré soit égale à mon discriminant ? J'ai après quelques essais trouvé que -[2R(6)]² = 24 et pour 10i= R(100i²)
Est-ce possible ou pas ? Si non pourquoi ?
Merci de votre patience .

Posté par
Fractal
re : Equation admettant une solution imaginaire pure 23-11-06 à 21:21

Bonjour, pour montrer que l'équation admet une solution imaginaire pure, suppose que c'est le cas en appelant iy cette solution, et résoud le système d'équations que cela te donnera en remplaçant x par iy.

Pour information, la résolution d'équation du second degré à coefficients complexes avec delta et tout ça n'est plus au programme de TS.

Fractal

Posté par
infophile
re : Equation admettant une solution imaginaire pure 23-11-06 à 21:25

Non oublie le discriminant, peut-être qu'avec ça :

z²-(1+3i)z+4+4i

(x+iy)²-(1+3i)(x+iy)+4+4i
x²+i2xy-y²-x-iy-3ix+3y+4+4i
(x²-y²+3y-x+4)+i(2xy-y-3x+4)

Posté par
infophile
re : Equation admettant une solution imaginaire pure 23-11-06 à 21:26

Bonne idée Fractal

Posté par Dahevos (invité)re : Equation admettant une solution imaginaire pure 23-11-06 à 21:44

Ok merci, jtrouve bien z=4i.

@+ tout le monde ^^

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