bonjour,
C'est un peu long et ce n'est pas qu'un simple exercice... il doit y avoir des demos de ce resultat dans un cours de distribution ou d'EDP.

oui je sais, c'est assez compliqué et ca fait plus d'une semaine que je fais des recherches. Et dans tout les bouquins on ma dit voila la solution fondamental mais personne ne prouve pourquoi.
Je sais que ca a un lien avec le delta de dirac que je ne maîtrise pas du tout/

Bon on peut en discuter si tu vuex...
Déjà est ce que tu sais ce qu'est une distribution? Un espace de Hilbert? Les espaces de Sobolev (d'eposant positifs entiers positifs suffiront)? La convolution?

oui tout ca je connais et assez bien, mon point faible se sont les distributions, je l'avoue.

Merci bcp

Dans ce cas ou est le problème il te suffit de dériver le noyau de la chaleur au sens des distributions, et de montrer qu'il est solution élémentaire de l'équation de la chaleur?
Je dois t'avouer que je ne rappelle pas trop de ce qu'est le noyau de la chaleur de tête...et il est possible qu'il surgissent des difficultés techniques...mais j'avais regardé y a quelques années comment ca se passait, il me semblait que ca fonctionnait bien.

Si tu pouvias me rappeler la fonction de Green, on pourrait voir si arrive bien a rouver qu'elle est solution élémentaire.

Donc en fait
la solution je sais que la solution fondamentale de l'équation de la chaleur est u(x,t)=\frac{1}{sqrt{2 pi t} exp{-x^2/t}.

J'avais trouvé un exercice qui donnait les étapes pour dire que u etait solution de l'équation de la chaleur avec
u_t - u_xx = 0 pour x dans R et t >0.

en gros faire un changement de variable x/(2\sqr{t})
On me dit que c'est la solution fondamentale de l'équation de la chaleur.

Mais nulle part on me dit pq où et comment ensuite toujours dans l'ouvrage sur lequel je travaille. On me dit que si
j appelle d le delata de dirac
v(x,y,m,n) est une solution fondamental d'un operateur differentiel L si
L(v) = d(x-m,y-n) au sens des distributions

Le problème c'est que de mon exercice où j'ai obtenu cette solution à la deuxième définition je ne vois pas du tout ce qui  "lie" les
deux choses

Bon déjà tu as un traitement de l'équation de la chaleur ici



Cela dit je n'ai pas l'impression qu'il donne une solution élémentaire (je l'ai lu en diagonale en fait il utilisent un traitement spectral de cette équation en "diagonalisant le laplacien")

Ensuite je suis d'accord pour ta définition de solution élémentaire d'un opérateur L c'est bien une distribtuion T telle que L(T)=\delta

Et tu es sur que quand tu fais les calculs tu trouve que quand tu injecte l'expression qu'on te donne ca fait bien 0, parce qu'a vu de nez...ca m'a pas l'air de faire zero.

Heu bon après avoir fait le calcul....ca a bien l'air de faire 0... dans ce acs c'est pas une solution élémentaire de l'équation de la chaleur (en tout cas pas dans le sens ou Chaleur(u)=\delta)

Bon je viens de regarder plus attentivement le lien que je t'ai fourni...ca me semble nickel en fait on ne cherche pas de solution de Chaleur(T)=\delta, on résoud bien a la main, en diagonalisant le laplacien (sur un domaine regulier), je pense qu'il faut entendre ici solution elementaire au sens ou par convolution avec la condition initiale on trouve la solution (mais sans question de dirac)... je ne suis pas EDPiste, mais ce n'est pas impossible que ca soit du jargon d'EDPiste.

Néanmoins sur ce poly tout y est fait tres clairement.

J'ai mis l'exercice qui me donnait l'équation fondamentale en lien

http://img21.imageshack.us/img21/3695/exercicesolfond.png

Penses-tu que c'est incorrect et ne conduit pas dans le bon sens de la compréhension ?

Merci d'avance

Oui non y a pas de souci ton exo est correct ils ne disent pas du tout qie c'est une solution elementaire! Ils disent que c'est le noyau de la chaleur! Un noyau c'est qqch qui est fait pour etre convolé! ici en convolant le noyau de la chaleur avec la condition initiale ben on trouve la solution.

Ca te parait mieux?

Ben oui mais mon problème c'est qie si je regarde heat kernel dans wikipedia
en anglais ils mettent  très exactement :

u_t(x,t) - k u_xx(x,t) = 0
et u_(x,{t=0}) = d(x) sur x in R et 0<t<infini

où d est le delta de dirac

je vois pas le lien avec le delta.
Merci de tes réponses aussi rapides

Ah oui mais ca c'est en t=0 c'est tres différent! Ici on se place juste sur

oui mais donc si je considère alors comme problème

u_t(x,t) - k u_xx(x,t) = 0 sur x in R et 0<t<infini
et u_(x,0) = f(x)
f ma condition initiale

alors je dois procéder de facon différente ?

Non, non a partir du moment ou on resoud sur un ]0,+oo[, la methode proposée marche bien (parce que le noyau de la chaleur est bien défini précisément...le seul probleme étant t=0)

Et donc si j ai bien compris je peux conclure conclure par convolution
que
\int_R K(y,t) f(x-y,0) dy avec K la solution définie plus haut et
f ma condition initiale est solution.
Est-ce cela ?
Un grand merci pour tout

Oui tu peux conclure ça, c'est essentiellement issu des proriétés de la transformation de Fourier (et c'est pas etonnant Fourier l'a inventé pour résoudre cette équation) jette un oeil au poly que je t'ai envoyé et si t'a des questions j'essairai d'y repondre.

Ben en fait je pense que j ai compris le théorème 2.16 de ton poly et donc que je suis complètement débloqué !
Je te dit un grand grand merci pour tout le temps que tu as passé
A charge de revanche j'espère

re

j'ai encore un soucie,
dans ce que tu m'as donné comme fichier, il utilise les transformé de fourier.
Mais dans mon cas ca n'est pas possible car mon fonction n'est pas integrale sur tout R.

Je suis encore dans la m...