Bonjour,
c'est l'équation de Poisson.
On connait les solutions exactes dans certains cas, tout comme pour l'équation de Laplace.
La solution utilise les potentiels classiques suivant l'espace dans lequel tu es.

Au passage, quel est ton programme ?
Es-tu à l'origine de celui-ci d'un point de vue mathématique ?

J'ai fait un programme qui résoud le problème par une méthode de différences finies. Je suis à l'origine du développement mathématique et de l'implémentation.

Donc si et quelconque, on connaît la forme analytique de la solution ? Tu peux m'en dire un peu plus.

En fait, ce qui m'intéresserait le plus pour le moment c'est de connaître la solution analytique du problème suivant si elle existe :



avec quelconque, ou sinon .

Merci.

Tu peux faire un changement de variable et te ramener à résoude l'équation de Laplace avec une condition au bord différente.
Par exemple, v=u-(x^2+y^2+t^2)/6.

Cela dit, il faut maintenant résoudre ce problème de Dirichlet et ça semble non trivial.
En fait, sauf cas très spéciaux, le problème revient à trouver la mesure harmonique de ton domaine, ici ça me semble pas trivial.

Je suis désolé mais ça m'aide pas vraiment.
En tout cas, je te remercie de ton aide.

J'ai l'impression que tu attends une belle solution trouvée par de belles formules.
Je n'ai pas le temps de me pencher sur ce probleme, mais même si c'était le cas, rien ne dit qu'une formule analytique simple soit possible, c'est ce qu'il faut que tu comprennes.
Deja en 3 dimension c'est pas évident surtout lorsqu'il s'agit du cube qui n'est ps aussi simple à appréhender que tu dois le penser.

Non, j'ai essayé ce que tu m'as dis mais ça n'a rien donné.
Tu as raison, je pensais que le problème était plus simple à résoudre. Pour tester mon programme, je vais plutôt me donner une fonction u et calculer son laplacien pour trouver le second membre f.
Je te remercie.

2 exemples de solutions exactes:
u = x(x-1)y(y-1)z(z-1)
et
u=(1/2²)sin( x) sin( y) sin( z)