salut

en terminale ? .... une telle équation ....

1/ équation sans second membre

(e^x - 1)y' + e^xy = 0 <==> y'/y = e^x/(e^x - 1) <==> ....

merci, je trouve  solution générale sur



prolongée par continuité  avec

Solution de (e^x - 1).y' + e^x.y = 0

y'/y = -e^x/(e^x-1)

ln|k.y| = - ln|e^x-1|

ky = 1/(e^x - 1)

y = C/(e^x - 1)
-----
Solution particulière de (e^x - 1).y' + e^x.y = 1

y = f/(e^x - 1)

y' = (f'(e^x - 1) -f.e^x)/(e^x - 1)²

(e^x - 1).y' + e^x.y = (f'(e^x - 1) -f.e^x)/(e^x - 1) + f.e^x/(e^x - 1)
(e^x - 1).y' + e^x.y = f'

f' = 1
f = x

y = x/(e^x - 1)
-----
Solution générale de (e^x - 1).y' + e^x.y = 1

y = x/(e^x - 1) + C/(e^x - 1)

y = (x + C)/(e^x - 1)

Avec C une constante réelle.
-----

Sauf distraction.  

MDR

bravo J-P tu sais faire c'est bien ...


bon reprenons :: tu t'es trompé dans ta primitive ...

ensuite avant de parler de recollement distinguons deux cas puisqu'il y a un problème en 0 ...

et j'ai oublié un signe ....

que reconnais-tu dans le membre de gauche ? de droite ?



(e^x - 1)y' + e^xy = 0 <==> y'/y = -e^x/(e^x - 1) <==> ....

Marocain l'auteur ? Parce que j'ai cru reconnaître sur ta fiches quelques exos tirées de sujets de maths marocains que tu as postés.

Sabaga,

La solution de l'équation différentielle complète sur R que tu proposes (Posté le 19-12-13 à 20:40) est correcte.

On trouve y = (x + C1)/(e^x - 1) sur R*-
et y = (x + C2)/(e^x - 1) sur R*+

Comme l'équation différentielle de départ impose que pour x = 0, on ait y = 1

il faut que lim(x--> 0-) (x + C1)/(e^x - 1) = 1
et que lim(x--> 0+) (x + C2)/(e^x - 1) = 1

Ce qui impose C1 = C2 = 0

On a donc comme solution sur R de l'équation différentielle complète :

y(x) = x/(e^x - 1) = 1 sur R*
y(0) = 1
-----

Il reste à justifier cela lorque y = 0 pour x différent de 0 ... ou montrer que cela ne peut pas arriver (ce qui est facile).

Car on ne peut pas passer (dans ma réponse) de (e^x - 1).y' + e^x.y = 0 à y'/y = -e^x/(e^x-1) si y = 0
Tout comme, on ne peut pas écrire (e^x - 1)y' + e^x.y = 0 <==> y'/y = -e^x/(e^x - 1) si y = 0

Bonjour,

Les solutions générales ont été proposées.


L'auteur du problème joue souvent d'une 'situation' particulière,
symétrie...

Ici,nous pouvons reconnaître le produit

Et sa dérivée,soit:


Intégration des deux membres...


Alain

Bien vu alainpaul.