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equation différantielle et multiplications de cellules
Bonjour!
je suis en medecine et malheureusement pour moi j'ai encore des maths!!
j'ai essayé mais je n'arrive pas à resoudre ce problème, le voici:
On observe la multiplication de cellules dans un bain fermé, de volume V, contenant initialement une concentration massique (masse/volume) C0 de cellules et Cg0 de glucose. La concentration des cellules augmente selon dc/dt= kCCg. On note Y la masse de cellules produites par unité de masse de glucose consommé.
La concentration de glucose à un instant donné vérifie Cg=Cg0-(C-C0)Y
....ET LE PROBKLEME COMMENCE:
- Montrer que l'équation différentielle qui gère l'évolution de la concentration de cellules avec le temps peut se mettre sous dc/dt= bc-ac².
- En utilisant le fait que 1/(bc-ac²)= [1/c+a/(b-ac)]/b , monter que la solution s'écrit: c(t)= b/[a-(a-b/C0)exp(-bt)]
- En exprimant les constantes a et b, vérifier que C=C0 à t=0
et que C tend vers C0+Cg0Y quand t tend vers l'infini, conformément à la conservation de la masse.
eh oui ça donne très mal à la tête :s !
En cours on nous a donné quelques formules de l'équation différentielle du 1è ordre(que j'ai bien tenté d'utiliser sans succès):
- ED sans 2nd membre dy/dx+y/k=0 =>y=y[sub][/sub]0*exp(-(x-x0)/k)
-ED avec 2nd membre dy/dx+y/k=a (où a= constante)
Bonsoir,
Voici ce que je pense comprendre en lisant l'énoncé :
On a un récipient dans lequel on a solution de volume V.
A t=0 (temps initial) :
- la concentration massique de cellules dans la solution est notée c0
- la concentration massique de glucose dans la solution est notée Cg0
Lors de l'évolution d'une réaction dans le récipient, la concentration massique des cellules (que l'on note c) suit l'équation différentielle avec Cg la concentration de glucose.
De plus, si on note Y le rapport masse cellules produite / masse glucose consomé, on a la concentration massique de glucose (que l'on note Cg) qui suit la loi Cg=Cg0-(c-c0)Y.
Dans cet exercice, les variables sont c et Cg, les constantes sont Cg0, c0 et Y.
1/ Trouver l'équation différentielle qui ne dépend que de c : il suffit de remplacer la loi de Cg dans l'équation différentielle liant c et Cg :
On a donc b= et a=
Petite note : ici, tu vois que tu as la variable c au carré, ce n'est donc pas une équation différentielle linéaire. Tu n'as du voir que les équations différentielles linéaire dans ton cours, c'est donc normal que les formules que tu as essayé ne marchent pas).
2/ vérification :
Donc, on a d'après le résultat de la première question que et il faut montrer que la solution s'écrit
On te donne le type de solution, cela veut dire qu'il faut remplacer cette expression dans l'équa diff que l'on vient de trouver, et montrer que cette solution marche.
Pour cela, faisons : (et montrons que c'est égal à bc-ac²) ... je te laisse finir.
3/ Vérification des résultats.
a) Il faut prendre l'expression de c à t=0, et voir si c'est égal à c0. Il faut donc voir si c(0)=c0.
b) il faut regarder l'expression de c à t=infini (faire limite).
Sauf erreur,
bon courage.
...et surtout je l'ai fini!!
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