Bonsoir
Il ne manquerait pas un signe -
si l'énoncé est
y' = -(3x+y+4)/(x+9y-16)
je trouve  3x²/2 + xy +4x + 9y²/2 - 16y = cste
A+

C`est possible qu`il y ait une erreur dans l`enonce. Pourrais tu preciser comment tu obtiens ce resultat?

Re
Ton équation différentielle n'est pas homogéne ni à variables séparables.
C'est une équation aux différenbtielles totales ( avec le signe -)
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 est dite aux différentielles totales si son 1er membre est une différentielle totale de F(x,y)
Ceci a lieu si M/y = N/x
ce qui est le cas avec le signe - ( = 1) mais pas avec le +
dF(x,y) = F'_xdx + F'_ydy  
*
(3x+y+4)dx + (x+9y-16)dx = 0
*
Cherchons F(x,y)
*
F'_x = 3x+y+4  (1),   F'_y = x+9y-16     (2)
Intégrons (1) par rapport à x ( y = cste) en prenant pour cste u(y)
F = (3x+y+4)dx = 3x²/2 + (y+4).x + u(y)
que l'on porte dans  (2) pour trouver u(y)
=>
(3x²/2 + (y+4).x + u(y))'_y = x+9y-16
=>
x + u'(y) = x+9y-16
=>u'(y) = 9y -16  => u(y) = 9y²/2 - 16y
=>
F(x,y) = 3x²/2 + xy + 4x +9y²/2 - 16y
réponse annoncée.
A+

C`est compris, ca me fait un peu penser au theoreme des cauchy sur les fonctions holomorphes.
Merci bien.

Bonjour,

Peut-être y a-t-il une erreur de signe dans l'énoncé. mais peut-être qu'il n'y a pas d'erreur.
Premièrement, on cherche des solutions particulières de la forme y=ax+b. Par report dans l'ED et identification, on trouve deux solutions.
Si la famille de fonctions solutions de l'ED était représentée graphiquement, ces deux solutions particulières seraient deux droites constituant des cas limites de l'ensemble des courbes représentatives.
On a donc intérêt à faire un changement d'axes pour se ramener dans un système d'axes (non orthogonaux) constitué pas les deux droites.
Ceci permet de définir les nouvelles coordonnées X et Y par des relations linéaires avec les anciennes coordonnées x et y :
x = m1*X + p1*Y + q1
y = m2*X + p2*Y + q2
m1, p1, q1, m2, p2, q2 étant les constantes calculées pour ce changement de système d'axes.
L'équation différentielle en X et Y qui s'en déduit est considérablement plus simple. Bonne continuation...

Bonjour escargo,

voici ce qu'on trouve avec la méthode que j'ai indiquée (bien entendu, à vérifier):

Bonjour
En effet les 2 solutions linéaires sont bien solutions de l'équation différentielle.
Cette méthode est trop lointaine pour moi ( il y a bien 40 ans ouf)
Je me demandais s'il n'esxistait pas une méthode plus " simple " pour trouver ces 2 solutions ( simples) linéaires.
En tout cas bravo.
A+

Bonjour geo3,

il est très simple de trouver les deux solutions linéaires.
D'ailleurs, ainsi que je le disais dans mon post du 23-12-08 à 14:42, on commence par faire cela avant d'attaquer la partie plus difficile dont le but est, ensuite, de trouver la solution générale.
Si on ne cherche que les solutions linéaires, il suffit de poser :
y = ax+b
et de reporter dans l'équation différentielle :
dy/dx = a =(3x+(ax+b)+4)/(x+9(ax+b)-16)
(x+9(ax+b)-16)a-(3x+(ax+b)+4)=0
(9a²-3)x+9ab-16a-b-4=0
pour que ceci soit vrai quel que soit x, il faut que :
9a²-3=0 et 9ab-16a-b-4=0
ce qui donne deux valeurs de (a, b) et par suite les deux équations y=ax+b

Re
> JJA
OK
il fallait que l'équation (x+9(ax+b)-16)a-(3x+(ax+b)+4)=0    quel que soit x ( je n'y ai pas pensé )
Encore bravo et merci
A+