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Equation différentielle 2ème ordre
Bonjour à tous, j'ai un petit soucis pour mon exo de maths, merci de m'aider!
Voici l'énoncé :
Soit l'ed (E) : y"(x²+1) - 2y = 0, dont on cherche les sol sur R à valeur dans R.
1 Montrer q'une solution polynomiale de (E) autre que la fonction nulle est forcèment de degré 2. Déterminer une telle solution polynomiale y0.
Je pense que la réponse est assez évidente puisque l'on a une ed de degré 2, donc l'équation résolvante est de degré 2 et je trouve une sol de la forme :
ae^(2/racine(x²+1)*t) + be^(-2/racine(x²+1)*t)
2 Montrer que tte fonction 2 fois dérivable sur R peut s'écrire sous la forme y = y0*z où z est une fonction 2 fois dérivable sur R.
Là je suis bloqué, déjà la question que je me pose : une fonction 2 fois dérivable est-elle de la forme ax² + bx + c?
3 En posant y = y0 * z, montrer que y est sol de (E) ssi la fonction Z = z' est sol de l'ed (E') que l'on écrira.
N'ayant pas rep à la question précédente, je peux juste écrire (E)' : 2x*y" + (x²+1)*y"' - 2 = 0
Voilà j'attends vos suggestions, merci d'avance!
Bonjour, bfme
La solution de ta première question est fausse, parce que tu ne peux pas appliquer le cours sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants (ici, le coefficient de y", qui est x²+1, dépend de x.
On te demande de chercher une solution polynômiale de l'équation, donc de la forme y(x)=a_nx^n+...+a1x+a0 avec a_n non nul.
Egalise les termes de degré n dans l'égalité
(x²+1)y"(x)- 2x y(x)=0
Tu verras que n doit prendre une unique valeur (en fait, tu trouveras n=2).
Ensuite pose y(x)=ax²+bx+c, et écris l'égalité des termes de degré 2, de degré 1 et de degré 0 dans l'égalité
(x²+1)y"(x)-2xy(x)=0
Tu trouveras b et c en fonction de a.
Je n'ai pas demandé "d'égaliser les n", j'ai demandé d'égaliser les termes de degré n, c'est-à-dire tous ceux qui sont multiples de x^n. Quels sont ces termes multiples de x^n ?
Ok ça nous fait :
-2a_n*x^n - 2a_(n-1)*x^(n-1) + x^(n-2) * (a_n*n*(n-1)*(x²+1) -2a_(n-2)
Mais je vois pas trop quoi en dire!
Il y en a un autre, qui est
n(n-1)a_n.
On aura donc, (un polynôme est nul si et seulement si ses coefficients sont nuls):
-2a_n+n(n-1)a_n=0
Donc, comme a_n est non nul
-2+n(n-1)=0
n²-n-2=0
n=2 ou n=-1.
Comme n est un entier naturel n=2
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