J'ai trouvé une autre expression de N(u), soit :

N(u) = No . e^[(R/y).(1-e^(yu))]

Mais je n'ai pas vérifié.

merci beaucoup c'est le bon résultat mais je ne comprends pas comment y arriver...

c'est bien une équation différentielle de 1er ordre sans second membre donc la solution est du type N(u)=Cexp(-k(u)u)

avec C constante à déterminer d'après les conditions initiales ici C=No  c'est bien ça?

Non, ce n'est pas cela.

Ici, k n'est pas une constante mais bien une fonction de u.
-----
J'ai utilisé la méthode de séparation des variables...
Mais si tu n'as pas appris cette méthode au cours, il faut faire autrement.

dN(u)=-k(u)N(u)du

dN(u) = - R.e^(yu) N(u) du

dN(u)/N(u) =  - R.e^(yu) du

ln|C.N| = -(R/y).e^(yu)

N(u) = C1 . e^[-(R/y).e^(yu)]

N(0) = No

No = C1 . e^[-(R/y)]

C1 = No . e^(R/y)

N(u) = No . e^(R/y) . e^[-(R/y).e^(yu)]

N(u) = No . e^[(R/y).(1-e^(yu))]

N(u)/No = e^[(R/y).(1-e^(yu))]

S(u) = e^[(R/y).(1-e^(yu))]
------
Sauf distraction.  

merci   j'ai enfin compris

j'ai une dernière question : pourquoi on ajoute la constante à n(u) et non pas de l'autre coté?

pourquoi a-t-on  ln|C.N| = -(R/y).e^(yu) et non pas ln(N(u))= -(R/y).e^(yu) + C

Tu peux la mettre du coté que tu veux.

De toutes manières, la relation finale, une fois compte tenu de la condition initiale sera la même (ou équivalente).

ok merci beaucoup