Probablement pas par la méthode attendue.

y' = -sin(y)

dy/dx = -sin(y)

dy/sin(y) = -dx

dy .sin(y)/sin²(y) = -dx

dy .sin(y)/(1 - cos²(y)) = -dx
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S sin(y)/(1 - cos²(y)) dy

Poser cos(y) = t --> -sin(y) dy = dt

S sin(y)/(1 - cos²(y)) dy = S 1/(t²-1) dt = (1/2). [S dt/(t-1) - S dt/(t+1)] = (1/2).ln|(t-1)/(t+1)|

S sin(y)/(1 - cos²(y)) dy = (1/2).ln|(cos(y)-1)/(cos(y)+1)|
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(1/2).ln|(cos(y)-1)/(cos(y)+1)|  = -x + K

ln|(cos(y)-1)/(cos(y)+1)| = 2(-x + K)

|(cos(y)-1)/(cos(y)+1)| = e^(2(-x + K))

(1-cos(y))/(cos(y)+1) = e^(2(-x + K))


cos(y) * (-1 - e^(2(-x + K))) = -1 + e^(2(-x + K))

cos(y) = -(-1 + e^(2(-x + K))) / (1 + e^(2(-x + K)))  

y = arccos[(1 - e^(2(-x + K))) / (1 + e^(2(-x + K)))]


y(0) = arccos[(1 - e^(2K)) / (1 + e^(2K))]

-Pi/2 < y(0) < Pi/2

y(0) = Pi/2 --> K = 0

Il faut K < 0 pour respecter la contrainte sur y(0)

f(x) = arccos[(1 - e^(2(-x + K))) / (1 + e^(2(-x + K)))] avec K < 0.

Et cela entraîne, en étudiant les variations de f(x), que f(x) est dans ]0 ; Pi[.
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A vérifier (plutôt 2 fois qu'une).  

merci

vous dites f(x) dans ]0,pi[ mais on demande ]-pi/2,pi/2[
de plus je suis à peu près sûr que la réponse attendue est une utilisation de Cauchy-Lipschitz ou de fonctions "barrières" (pas de résolution).

Est-ce que l' énoncé est faux? si oui est-ce qu'on peut le montrer sans résoudre?

Soit E l'ensemble des f : qui sont continues et qui vérifient f ' = - sin o f .

Remarques :
1.Pour tout k , c_k : t k est dans E .
  D'après un théorème de Cauchy si f et g sont deux éléments distincts de E on a " t , f(t) g(t)". On en déduit que si f E est non constante alors f() . = .
2. Si f E et k -f et f + 2k sont dans E.

Soit donc f E  non constante .(Au passage si -/2 < f(o) < /2 on a f() ]0 , [ et il n'est pas du tout certain que f ne passe pas au dessus de  /2)
En tout cas g = cos o f vérifie g ' = 1 - g² et g() ]0 , 1[ donc 2 = g '/(1 + g) + g '/(1 - g) de sorte que si on pose h = ln o ((1 + g)/(1 - g)) on a : h ' = 2. On en déduit qi'il existe un réel c > 0 tel que g : t (c.exp(2t) - 1)/(c.exp(2t) - 1) et que si u(t) = Arccos((c.exp(2t) - 1)/(c.exp(2t) - 1)) on a : g = cos o u = cos o f . Pour chaque réel t il existe donc s(t) {-1 -1} et k(t) tels que f(t) = s(t).u(t) + 2k(t).

A voir que s et k sont constantes .

Réciproquement on vérifie que u est dans E de sorte que E = { .u + 2k | ( , k) {0 , 1} } {c_k | k }

Je complète ce que je t'ai envoyé cette nuit :

La première partie de mon raisonnement (l'analyse)  : Après " Si f E .....il existe s : {-1 , +1} et k : tels que f = s.u + 2.k" j'ajoute "
A voir que s et k sont constantes" sans trop savoir comment le prouver . Je propose de continuer ainsi:

On ne peux pas passer à côté des  F_,k = .u + 2k . Il se trouve que ces F_,k sont dans E (faire les calculs). Soient alors t_o   , = s(t_o) et p = k(t_o) . On a alors f = F_,p puisque ce sont 2 éléments de E qui prennent la même valeur en t_o.

Par ailleurs l'application que j'ai appelée u aurait du être notée u_c

Ce qui précède montre que  montre que E {.u_c + 2k | (c,,k) ₊*   {0 , 1} }

Et il y a même égalité compte tenu de la remarque 2 et des calculs  faits ci-dessus.

On peut certainement arriver au bout du problème sans résolution.
La résolution n'est pas très dure dans ce cas.

Mais, il n'y a pas de raison, quelles que soient les méthodes utilisées, d'arriver à des conclusions différentes ... sauf si on fait des erreurs.

Et pour moi, on arrive à 0 < f(x) < Pi.
  
Si une autre méthode d'arriver au bout du problème aboutit à une autre conclusion, alors il y a au moins une des 2 méthodes qui est fausse.