Bonjour,

Une première manière est de tout diviser par x⁴ pour arriver à -y'/x + y/x² = (y/x)³(1/x)
Ensuite on fait le changement de variable u=y/x et on écrit u' en fonction de x, y et y'

Je te laisse continuer ?

Slt à toi dsl de répondre que maintenant j'ai plus pu me connecter hier...

en ce qui concerne ta réponse j'ai du mal à comprendre pourquoi il faut diviser par x^4...

car j'ai une correction sous les yeux qui dit de diviser par y^3 et de poser z= 1/y²...puis la suite je comprend rien...

si tu peux m'éclairer en m'expliquant pourquoi tu utilise ce x^4 car ça m'a l'air bcp plus facile que ce que j'ai dans la correction...

On divise par x⁴ parce que... ça permet de faire un changement de variable .
Comme disait Poincaré, l'intuition, y en a besoin pour faire des maths (ou à peu près)

En posant u=y/x, on obtient u'=-y/x²+y'/x=-u³/x
donc -u'/u³=1/x d'où 1/u²=K+ln|x|

De là, on tire u=1/((K+ln|x|) et finalement y=x/((K+ln|x|)

Qu'est-ce que ça donne l'autre méthode ?

alors je vais te montrer tout ce qu'il y a de marqué lol


on divise par y^3; on pose z=1/y² d'où z'= -2 y'/ y^3
1/2x^3z'+x²z=1  => eq.linéaire

eq sans seconde membre : 1/2x^3z'+x²z=0 d'où z'/z=-2/x
                         ln|z|=-2ln|x|+ln|...jarrive pas à relire| => z=k/x²

variation de la constante : x²|z=k/x²
                        1/2x^3|z'=k'/x²- 2k/x^3
                               1=k'x/2 d'où k'=2/x

on déduit : z= (C +2ln|x|)/x² et y²=x²/(C+2n|x|)

Homogène : y'=(y/x)-(y/x)^3; on pose t=y/x
           dy = (t-t^3)dx
           dy = t dx + x dt => -t^3dx=xdt
           ∫dx/x = ∫-dt/t^3
           ln|x|= 1/2t²+ln|c|

soit : x = k e^(1/2t²)
       y = k t e^(1/2t²)


voilà tu dois mieux comprendre pourquoi je comprend rien à cette correction je sais même pas d'où il sort le "C" ni comment la dérivée de 1/y² ça peut faire -2y'/y^3....personnellement je trouve -2y/y^4 bref si tu peux m'éclairer sur cette maniere car aux partielles j'aurai surement ça à faire :'(  

Bonjour,

Désolé pour le retard mais l'ordi était très occupé hier soir...
En tout cas, ça m'a permis de trouver une erreur dans ma démonstration.

En posant t=y/x, on obtient t'=-y/x²+y'/x=-t³/x
donc -t'/t³=1/x d'où 1/(2t²)=K+ln|x|
De là, on tire et finalement
Dans ton corrigé, on donne une solution paramétrique en gardant t, ce qui donne certainement une solution plus générale car dans mon passage à la racine carrée, je n'ai gardé que la solution positive.

Pour l'autre méthode, la dérivée de y^-2 est bien -y'y^-3.
Sinon, la variation de la constante donne k'(x)=2/x donc k(x)=2ln|x|+C (une constante)

Quand on le remet dans l'expression de z, ça donne z=(2ln|x|+C)/x²=1/y²

Bon courage

Deux remarques :

1.Il est clair que
    11.x 0 , de vers est solution de l'ED

    12.Si f est s"olution de l'ED sur l'intervalle U " il en est de même pour -f

2.Dans les 2 propositions ci-dessus de résolution de l'ED :
    21. ce qui est fait (mais on ne le dit pas) est : Si y est solution alors y =...
       Aucune réciproque n'esr évoquée .

    22.On divise allègrement par x (sans dire que l'ensemble de départ de y ne contient pas 0) et par y (sans dire que les résultats qu'on va obtenir ne sont valables que pour les y qui ne prennent jamais la valeur .  

Je pense que ce n'est pas de cette façon qu'on doit étudier une ED , bien que dans pas mal d'exercices  (mais ce n'est pas le cas dans cet exemple) les solutions obtenues de cette manière sont effectivement LES solutions .