salut

en étudiant les degrés des deux termes on peut espérer trouver une solution polynomiale ....

d'autre part ta solution est fausse : il faut intégrer X ....

Effectivement, j'ai oublié d'intégrer X... Pendant que j'essaye ça pourrais-tu m'expliquer ce que tu entends par en étudiant les degrés des deux termes? Parce que x²+1 est de degré 2, ça ok, et le second terme de degré 1, mais du coup je ne vois pas où tu veux en venir.

suppose y polynome de degré n, quel est alors le degré de chacun des termes ?

d'autre part l'intégration de X introduira des ln qui "disparaitront" avec exp .... d'où le polynome ....

Si y est polynôme de degré n, chacun des termes sera de degré inférieur ou égal à n.
Je crois que je cherche compliqué pour  l'intégration, je pensais faire une décomposition en éléments simples...

Alors après une décomposition en éléments simples, je trouve (4x+1+m)/(x²-1)= (m-3)/2(x+1) + (m+5)/2(x-1)
Quand je l'intègre je trouve [(m-3)/2]ln(x+1)+[(m+5)/2]ln(x-1)
donc exp de tout ça me donne finalement:
y=K*[(x+1)^(m-3)/2+(x-1)^(m+5)/2]
Je peux donc ensuite chercher m pour avoir un polynôme, c'est à dire si m3 et m5 déjà.
Qu'est ce que tu en penses?

Petite erreur de frappe, il faut m-5

ça me semble raisonnable tout ça ....

il faut même donner m avant d'intégrer car une primitive de 0 est alors une constante ....

d'ailleurs que se passe-t-il si m = 3 ou m = -5 ....

Si m=3 ou m=-5, on a alors y=2*K, donc y est une constante.
Encore une petite question, je ne peux pas donner m avant car je dois d'avoir trouver les solutions de l'équa diff avant de trouver les valeurs de m, ou alors il faut que je mette juste la solution avec l'intégrale dans la question 1 et que je résolve cette dernière dans la 2, non?

tu prends le logarithme si tes fonctions ne sont pas constantes (et même nulles) : il faut donc dire avant que m n'est pas 3 ou -5 et donc étudier ces cas particuliers ....

Je comprends bien ce que tu me dis, le seul problème c'est qu'en faisant cela je réponds à la question 2 dans la question 1, alors comment faire?

dans ta réponse le facteur K ne doit pas l'être de tes deux puissances ....

y = a (x-1)... + b (x+1)... où les ... représentent les puissances ....

y est un polynome si m est impair ....  supérieur à 3


.......

Bonjour carpediem,

Je n'ai pas très bien compris ce que tu m'as écrit. Le facteur K est une constante réelle que l'on doit déterminer avec les conditions initiales, qu'ici nous n'avons pas.
Le polynôme est de degré supérieur ou égal à m+5/2 si m est impair et supérieur à 3 ,
Si m inférieur à -5 alors 0 est le plus haut degré du polynôme. Pour le reste je verrai en rentrant du boulot là faut que j'y aille... Je finis tard normalement ce soir alors ne t'etonne pas si je ne répond pas de suite.
Bonne journée!

Bonsoir carpediem,

Donc la solution de notre équation différentielle est un polynôme:
si m est impair et supérieur ou égal à 3, dans ce cas le plus haut degré sera donné par m+5/2.
Je pense que c'est tout ce que je dois répondre.  
Par contre je ne comprends toujours pas ta phrase : "le facteur K ne doit pas l'être de tes deux puissances ...."

en posant p = (m-3)/2 et q = (m+5)/2 alors les solutions sont

y = a(x+1)^p + b(x-1)^q ....

Je suis vraiment désolée, mais je ne vois absolument pas où tu veux en venir

c'est a fois la première + b fois la seconde .....

et non pas k facteur du tout ....

enfin .... à vérifier ....

Ok, je reprends, nous avons l'équa diff (x²-1)y'-(4x+1+m)y=0

Je n'ai pas de conditions initiales (CI), ce qui me donne:
y'=(4x+1+m)y/(x²-1)

J'en déduis que la solution de cette équa diff est :

y=Ke^{(4x+1+m)/(x^2-1)}

où K est ma constante que je ne peux pas connaître puisque je n'ai pas de CI.
L'intégrale devient ce que nous avons vu auparavant, d'où :
y=K*[(x-1)^(m-3)/2+(x+1)^(m+5)/2] car [(x-1)^m-3/2+(x+1)^(m+5)/2]=e^{(m-3)ln(x+1)/2+(m+5)ln(x-1)/2}

Où est-ce que je me trompe?

rtu n'as pas le droit d'écrire y = .... sans avoir dit au préalable m différent de 3 et -5 ....

et il faut traiter ces deux cas séparément en remplaçant par chacune des deux valeurs .... et regarder ce que tu obtiens ....

Très bien, j'ai donc écrit après ma décomposition en éléments simples que :
si m=3, alors 4x+4/(x²-1)=4/(x-1)
si m=-5, alors 4x-4/(x²-1)= -4/(x+1)
Donc y=K[(x-1)^(m-3)/2+(x+1)^(m-5)/2] si m3 et m-5
Sinon y=K(x+1)(x²-1) ou y=K(x-1)^(m-3)/2
C'est ça?

résoudre l'équation lorque m = 3

résoudre l'équation lorsque m = -5

résoudre l'équation lorsque m différent de 3 et - 5


comparer les résultats (les regarder) puis conclure ....

Si m=3, alors y=K(x+1)⁴
Si m=-5, alors y=K(x-1)^-4=K/(x-1)⁴

Si m différent de 3 et -5, alors y=K[(x-1)^(m-3)/2+(x+1)^(m-5)/2]

On en conclut que la solution de l'équation différentielle est un polynôme quelque soient les valeurs de m.

Je ne  sais pas pourquoi mais je pense que je me trompe...

non il faut que m >= 3 et attention c'est m + 5 ....

Oui désolée faute de frappe pour m-5.
Voilà ta réponse je crois répond à une des questions que je me posais. Pour avoir un polynôme tu dois avoir obligatoirement des puissances positives? Je sais que ça a l'air logique mais je me disais que la fonction 1/x=x^-1 j'ai douté de ma réponse.
Merci Carpediem, j'ai compris

de rien