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Equation différentielle
Bonsoir,
soit (E)
1)Trouver les solutions de (E) qui sont constantes
Le but de ce qui suit est de démontrer que ce sont les seules solutions de (E) sur .
On se donne une solution de (E) sur ..
2)Montrer que
On se donne un entier k tel que
3)On suppose que k est pair
a) montrer que la fonction $z$ définie sur . par
est solution de (E) sur
. et que z tend vers 0 quand t tend vers 0
Dans la suite, on raisonne par l'absurde et on suppose que z n'est pas la fonction nulle cad, qu'il existe un réel tel que
. On suppose de plus que
et que
b)Montrer que pour tout t>0, z(t)>0
c)Montrer l'existence d'un réel tel que
Je bloque dans ces deux dernières questions, je ne sais même pas par quoi commencer la 3)b).
Avez vous des indices ?
dans l'énoncé, on nous informe qu'on peut admettre que si il existe un réel tel que
, alors y est nulle
Salut,
ça fait un moment que je cogite aussi sur la 3b et je n'ai encore rien trouvé. Par contre le 3c m'ai venu très rapidement: c'est la caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction. J'explique, lorsque alors on peut que écrire:
Dans notre cas, la 3b fournit z(t)>0, donc le signe valeur absolu saute autour de z(t). Secundo, il te suffit de prendre . Normalement
, mais si la propriété est vrai dans tout cet intervalle alors elle est aussi vrai dans celui demandé.
Voilà tout ce que j'ai trouvé jusque là.
je pense avoir trouvé une réponde à la 3)b)
on procède par l'absurde, on suppose que
puisque z est solution de (E) sur , alors elle est dérivable sur
, et donc continue sur
D'autre part, , donc on applique le TVI, on trouve que z s'annule en un point, et donc, d'après la proposition admise, z est nulle, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse
la suite est :
d) En déduire que
(ce qui est facile sachant que
e)Montrer qu'il existe une constante strictement positive C telle que , et aboutir à une contradiction.
moi je trouve au contraire que , en primitivant l'inégalité de la question précédente...
j'y travaille encore
pour la 3)e), en intégrant entre et
l'inégalité de la question précédente, j'aboutis à l'inégalité voulue, si
, mais je ne trouve pas le résultat voulu pour l'autre cas ....
Bonjour,
quelques réponses (partielles) ont été données içi :
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/512852-equation-differentielle.html
la suite est :
4)Dans cette question, on suppose que k est impair
a) montrer que la fonction $z$ définie sur par
est solution de (E') sur
:
(E')
Dans la suite, on raisonne par l'absurde et on suppose que z n'est pas la fonction nulle cad, qu'il existe un réeltel que
. On suppose de plus que
et que
b)Montrer que pour tout t>0, z(t)>0
c)En déduire que :
d)En déduire qu'il existe une constante C strictement positive telle que
, et aboutir à une contradiction.
Mon problème réside à trouver cette contradiction ,si vous pouvez me guider vers la bonne voie ...
0 on a : 2tz '(t) - z(t) = sin(z(t)) - z(t) 
0 donc Z : t 
z(t)
t est décroissante sur 
+ . Pour t 
]0 , a] tu as donc Z(t) 
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