Ne devrais-tu pas commener à chercher les solutions de l'équation homogène associée à (E) ?

A +

Tout revient à déterminer , fonction non nulle telles que

.

Il faut donc trouver , et tels que



A +

salut

je dirais même plus pourquoi dans tes solutions il y a ce facteur x² ...

Pour moi, on a sur tous les intervalles indiqués : y(x) = (ln|x| + k).x²/(x²-1)

Et pour faire les raccords et -1 , 0 et 1, il suffit de prendre k = 1

On a :

y(x) = (ln|x| + 1).x²/(x²-1) pour R/{-1 ;0 ; 1}
y(-1) = 1/2
y(0) = 0
y(1) = 1/2
------------
Démo :
x(x²-1).y' + 2y = 2x²

Solutions de x(x²-1).y' + 2y = 0
Si y est diff de 0 et x diff de -1, 0 et 1

y'/y = -2/(x(x²-1)
y'/y = 2/x - 1/(x-1) - 1/(x+1)
ln|y| = ln|k.x²/(x²-1)|
y = k.x²/(x²-1)

Solution particulière de x(x²-1).y' + 2y = 2x²
y = f.x²/(x²+1)
y' = ...
x(x²-1).y' + 2y = ...
et en comparant à x(x²-1).y' + 2y = 2x², on trouve : f' = 1/x
--> f = ln|x|
Et y = ln|x| * x²/(x²-1) est une sol particulière de x(x²-1).y' + 2y = 2x²

Solutions de x(x²-1).y' + 2y = 2x² :
y(x) = (ln|x| + k) * x²/(x²-1) pour x diff de -1, 0 et 1

Il faut relier pour avoir y = 1/2 en x = +/- 1 rt y = 0 en x = 0 --> on a k = 1

Et finalement, on arrive à :
y(x) = (ln|x| + 1).x²/(x²-1) pour R/{-1 ;0 ; 1}
y(-1) = 1/2
y(0) = 0
y(1) = 1/2
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Sauf distraction.