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équation différentielle

Posté par
pppa 23-12-11 à 18:34

bonjour à tous

je dois résoudre l'équadiff : \rm xy' + (x-1)y = f(x)

avec 3 cas :
1/ \rm f(x) = x^4+x^3+x^2
2/ \rm f(x) = x^2.\cos x
3/ \rm f(x) = \dfrac{e^{-x}}{x+1}

Ds un 1er tps, je résouds l'ESSM, et je trouve comme solution, pr y ne s'annulant pas et x \neq 0 (par cohérence avec les calculs intermédiaires) \boxed{\rm y= K.x.e^{-x}}

Je pense que c'est bon puisque j'ai testé la solution, sachant que pr x \neq 0, y ne s'annule pas (K = e^C ), C étant une cte d'intégration résultant de la résolution de l'ESSM.
(Et pr x = 0, y est la fonction nulle).

Voilà pr l'ESSM, étape préalable commune à la résolution des 3 cas.

Il faut maintenant déterminer une solution particulière ds chacun des 3 cas qui, ajoutée à l'ESSM commune aux 3 cas, donnera la solution générale des 3 équadiff.

Le cas 1 j'ai trouvé la solution (vérifiée).

Je bute sur le cas 2.
J'aurais tendance à dire qu'une solution part serait de la forme \rm y = \lambda.x.\cos x , puisqu'on multiplie y par x ds le 2ème terme du 1er membre, dc y' = \lambda.(\cos x - x.\sin x)

mais c'est en essayant de trouver \lambda par identification, sachant qu'il me reste un terme en sin, je trouve des incohérence. Pouvez-vs me guider svp.

NB : j'en suis arrivé à essayer de poser \lambda x^2.(\cos x - \sin x) = x^2.\cos x, mais c'est une fausse piste et je ne sais pas encore comment m'en sortir.

Merci de m'aider

Posté par
MatheuxMatoure : équation différentielle 23-12-11 à 18:41

Bonsoir

Il n'y a pas de solution de cette forme pour la 2

Tu connais la méthode de variation de la constante ?

Posté par
pppare : équation différentielle 23-12-11 à 18:45

Bonjour MM

oui je l'ai vue en début de cours, mais je ne vois pas encore comment l'appliquer ici.

Peux-tu me dire stp

Posté par
MatheuxMatoure : équation différentielle 23-12-11 à 18:49

y(x) = K(x).x.exp(-x)

remplace dans ton équa diff

tu vas arriver à K'(x)=exp(x).cos(x)

tu primitives en intégrant deux fois par parties


tu remplaces

et tu as une solution particulière en y

Posté par
pppare : équation différentielle 23-12-11 à 19:27

Dc effectivement, en "rendant variable" la constante de la solution de l'ESSM, je pose

\rm y = K(x).x.e^{-x}  soit  \rm y' = K'(x).x.e^{-x}+K(x)e^{-x}-K(x).x.e^{-x}.

En remplaçant ces valeurs ds l'équadiff de départ, après développements et simplifications je trouve effectivement \rm K'(x) = e^{x}.\cos x

Dc pr trouver K(x), oui j'intègre 2 fois de suite et je trouve (dites-moi si c'est bon svp)

\rm K(x) = \int\cox x.e^x.dx = \dfrac{e^x.(\sin x + \cos x)}{2}

Posté par
pppare : équation différentielle 23-12-11 à 19:29

Lire à la fin svp : \rm K(x) = \int\cos x.e^x.dx = \dfrac{e^x.(\sin x + \cos x)}{2} (erreur de frappe sur le cos ds le LtX)

Posté par
pppare : équation différentielle 23-12-11 à 19:29

+ une constante d'intégration .....

Posté par
pppare : équation différentielle 23-12-11 à 20:25

Dc en supposant que j'aie correctement intégré, la solution générale de l'équadiff 2 serait

\rm y = K.x.e^{-x} + \dfrac{x.(\sin x + \cos x)}{2} + C

Merci de me dire si c'est correct ?.

Pr la 3, j'utilise aussi la méthode de la variation de la Cte ? J'ai l'impression que dès que la nature des fonctions du 2ème membre de l'équadiff n'est pas 'homogène' (ex 'mélange' de fonctions circulaires et pnm, ou exponetielles et rationnelles) la méthode de recherche d'une sol. part. par identification ne marche pas...ds ce cas on utilise celle de la variation de la constante ?

Merci de me dire pr que je puisse me faire une méthodologie (si c'est possible)

Posté par
MatheuxMatoure : équation différentielle 23-12-11 à 22:45

le "+C" à la fin est faux ! et à enlever (c'est K la constante d'intégration dont tu parlais)

sinon c'est bon pour le (2)

pour le (3), la variation de la constante marche bien

mm

Posté par
pppare : équation différentielle 24-12-11 à 00:16

bonsoir

Citation :
le "+C" à la fin est faux ! et à enlever (c'est K la constante d'intégration dont tu parlais)


J'ai besoin d'une explication svp

K est la constante d'intégration que j'ai déterminé pr la solution de l'ESSM.

Qd je résouds l'intégrale  \Int\cos x.e^x.dx , la réponse complète est bien \dfrac{e^x.(\sin x + \cos x)}{2} + C_1

Pr avoir une solution particulière, je multiplie K(x) = \Int\cos x.e^x.dx par x.e^{-x}, dc je me dis que le produit va aussi porter sur C_1, non ?

Attention, je ne dis pas que j'ai raison, je pense que si tu fais cette remarque, il y a surement une raison, je vouudrais la comprendre. Pr moi le K est et reste la cte d'intégration de la solution de l'ESSM ; est-ce la seule cte d'intégration qui apparaît ds la solution complète, ou est-ce un autre K ?

Merci de m'expliquer. Il faut aussi que je comprenne le fond des choses, pas seulement apprendre à résoudre des équadiff comme un robot , alors merci de me dire.

Demain (enfin + tard ds la journée du 24 puisqu'elle est déjà commencée) je vs présenterais ma proposition de solution pr le cas 3.

merci de votre aide

Posté par
MatheuxMatoure : équation différentielle 24-12-11 à 10:28

oui, mais en multipliant ce "C" par x.exp(-x) tu retrouve la solution générale de l'ESSM

et comme tu cherches UNE solution particulière, prend C=0 c'est plus simple !

Posté par
pppare : équation différentielle 24-12-11 à 16:31

D'accord, mais sans être lourd mais juste pr être sûr que je suis bien, on est bien d'accord que, sans préjuger de la valeur attribuée à C1 (Cte d'intégration trouvée lors de ma recherche d'une solution particulière), la solution complète est de fait :

y = (K+C_1).x.e^{-x} + \dfrac{x.(\sin x + \cos x)}{2},

K étant une constante (non nulle, puisque égale à eC), déterminée ds la recherche de la solution de l'équation homogène ; Cf mon 1er message).

merci de me dire.

En attendant je regarde pr la 3.

Posté par
pppare : équation différentielle 24-12-11 à 16:41

Pr la 3, en appliquant la méthode de la variation de la

Posté par
pppare : équation différentielle 24-12-11 à 16:45


Pr la 3, en appliquant la méthode de la variation de la
variation de la Cte, j'en suis arrivé à

\displaystyle\rm K(x)=\Int\dfrac{1}{x^2.(x+1)}.dx.

Si c'est correct, pouvez-vs svp me donner une piste pr cette intégrale svp.

Je ne me rappelle plus comment démarrer....ds ce cas

merci d'avance

Posté par
pppare : équation différentielle 24-12-11 à 18:45

Bon par tâtonnements (il me semblait bien qu'il y avait du ln|x+1| et du \rm\dfrac{1}{x} )j'ai trouvé : \rm K(x) = \ln |\dfrac{x+1}{x}|-\dfrac{1}{x} (à une cte d'intégration près).

Une solution particulière est dc (en supposant la cte d'intégration mentionnée ci-dessus prenant la valeur 0) : \rm x.e^{-x}.\ln |\dfrac{x+1}{x}| - e^{-x}

la solution complète serait dc : \rm y = K.x.e^{-x} + x.e^{-x}.\ln |\dfrac{x+1}{x}| - e^{-x}.

En supposant que ce soit ça, este le pb de \displaystyle\rm K(x)=\Int\dfrac{1}{x^2.(x+1)}.dx, que j'ai calculée par intuition et essais.

C'est pas normal de procéder comme ça...Dc je prolonge le sujet et vs demande svp de m'indiquer une méthode pr calculer un intégrale de ce type.

merci d'avance, et joyeux Noël

Posté par
littleguyre : équation différentielle 24-12-11 à 19:20

Bonjour

\dfrac{1}{x^2(x+1)}=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x+1}

(regarde la "décomposition en éléments simples", par exemple ici : .)

Pas vérifié ton résultat. Bon Noël

Posté par
pppare : équation différentielle 25-12-11 à 17:44

Merci LittleGuy, c'est bon !


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