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Equation Différentielle
Bonjour à tous,
J'ai un problème pour résoudre une équation différentielle qui est celle ci:
y'=2xy
En appliquant la formule y(x)=Ce^(ax), j'obtiens:
y(x)=Ce^(2x
x) Donc y(x)=Ce^(2x²)
Or, Si je prend C=
3 donc y1(x)=3e^(2x²), J'obtiens:
4x3e^(2x²)=2x3e^(2x²)
On remarque que l'égalité est fausse et je n'arrive pas à trouver mon erreur.
Merci d'avance de m'aider.
1)
y(x)=constante e^(2x²) n'est pas solution de y'-2xy=0
Je trouve en prenant Constante=2
4xe^(2x²)=0
2)
En dérivant e^(2x²)
On obtien avec (eu)'=U'eu:
4xe^(2x²)
OK.
D'après l'ED , on dérivant, on doit obtenir
, et ici, on obtient
.
Il y a un facteur 2 en trop...
Oui il y a bien un facteur 2 en trop mais je sais pas ou
En essayant de bidouiller un peu, j'ai pu trouver au lieu de -> y(x)=Ce^(2x²)
Ceci -> y(x)=2Ce^(x²)
Mais je sais pas pourquoi, ni si ses vraiment sa la réponse.
La solution est presque bonne. La résolution de ce genre d'ED est plutôt intuitive.
On regarde comment est écrit l'ED :
On voit la chose suivante : en dérivant la fonction solution, on voit apparaître un ...
Qui est-ce qui a pour dérivé ? Eh bien,
.
La solution est alors de la forme .
En dérivant, on dit oui.
On va chercher à déterminer ce dans
...
On obtien avec (eu)'=U'eu:
Les trucs suivantes ne doivent pas être écrits sur ta copie...
Et donc ce
Oui, ce que vous avez fait fred1992, je l'ai compris et ses bon
Mais sa me paraît étrange de trouver y(x)=Ce^(x²) de cette manière sans utiliser la formule générale qui est:
Pour: y'=ay
y=Ce^(ax)
Avec pour notre cas a=2x et qui nous donnerait donc:
y=Ce^(2x²)
Donc étrange de passer par e^u pour trouver le u et pas par la formule générale.
Cette formule n'est pas fausse.
Dans le cas précis où on a un truc de la forme : ,
la solution est bien quelque chose du type où
est un réel.
En effet, on a bien .
Par contre, ici on a : . Ce "a" ne peut être associé à
. Ce "x" change tout.
Prenons un autre exemple. Considérons l'ED .
On voit qu'en dérivant, on obtient un qui apparaît.
Qu'est-ce qui a pour dérivée ce truc ? Eh bien .
En effet,
Donc les solutions sont de la forme
Juste pour retenir.
Si est un réel, et de surcroît, un réel fixé/constant.
Il ne faut pas associer ce "immobile" à un truc qui "bouge", comme
.
Pourquoi ne pas procéder simplement de la manière suivante ?
y ' = 2xy
y '/y = 2x
ln y = x² + k
y = Cex² .
D'accord, sa y'est je viens de comprendre.
Merci beaucoup fred1992, ton aide m'a été bien utile et j'ai enfin compris mon erreur.
Merci encore de ton aide très sympathique.
Par contre Priam, j'ai pas compris le passage de l'avant dernière ligne à la dernière.
et sa à l'air de marcher aussi.
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