Bonjour, f(x) doit être solution donc 2f'(x)+f(x)=e^-x/2(x+1) pour tout x.
Donc calcule 2f'(x)+f(x) et identifie les coefficients de ce que tu obtiens avec ceux de e^-x/2(x+1) ça te donnera deux équations en m et p

J'ai trouvé m = 1/x et p = -1

non m est une constante, elle ne peut pas dépendre de x.

Bonjour Camillem

En fait je me suis trompée dans les calculs tout à l'heure.
Pour 2f'(x)+f(x) je trouve que c'est égal à (e^(-x/2))*(4mx+2p)

Et par identification je trouve m = 1/4 et p = 1/2

Oui c'est bien. Donc maintenant tu as une solution particulière de l'équation différentielle

Je ne comprends pas d'où vient cette équation... :p

Quoi ? ? c'est ce que tu as trouvé, m=1/4 et p=1/2 ça donne (y=(x²/4+x/2)e^-x/2 donc y=(x(x+2)e^-x/2/4, j'ai juste factorisé pour faire plus joli.

Ah d'accord, merci!
Et pour la question b., je ne vois pas comment on peut faire si on n'a pas la fonction g...

Montrer que g est solution de (E') si et seulement si g-f est solution de (E') :

Si g est solution de (E') c'est que 2g'+g = (e^(-x/2))*(x+1)mais on sait aussi que f est solution donc que 2f'+f = (e^(-x/2))*(x+1)
Si on soustrait ces deux équations membre à membre on trouve 2(g-f)'+g-f=0 ce qui prouve que g-f est solution de l'équation sans second membre (tu as une erreur d'énoncé)

Réciproquement, si g-f est solution de l'équation sans second membre alors 2(g-f)'+g-f=0 2g+g'-(2f'+f)=0
mais on sait que 2f'+f = (e^(-x/2))*(x+1) donc en remplaçant 2g+g'=(e^(-x/2))*(x+1) g est solution de (E')


Cela te montre quelque chose de très utile pour les équations différentielles qui ont un second membre :
la solution générale = la solution de l'équation sans second membre + une solution particulière.

Dans le cas présent, cela permet de dire que la solution générale de l'équation est
y=Ke^(-x/2)+(1/4)e^(-x/2)x(x+2)

Ok, merci beaucoup Glapion!