Au fait j'ai fait la dernière question il me reste maintenant la question 2,et là je suis coincé

Bonjour

alors, j'ai bien trouvé une solution, mais cela me semble bien compliqué...

tu calcules f⁽¹⁾, f⁽²⁾ et f⁽³⁾ et on voit que la propriété est vraie pour la dérivée d'ordre 1

et le principe serait de faire une récurrence

le problème est d'avoir une petite idée de comment peut s'écrire la dérivée d'ordre n

au bout de qq calculs
on se rend compte que la dérivée d'ordre n est du type



autant le coefficient devant x est facile, autant la constante est plus ennuyeuse...c'est pour cela que je l'ai baptisée C_n sans chercher nécessairement à la déterminer
et tu vas calculer

et tu vas réussir à démontrer que ta relation (de l'équation différentielle) est vérifiée

pour ce faire, j'espère que tu sais et bien dériver, et bien manier les puissances de (-2)....

voilà !

1)

f(x) = (1+x).e^(-2x)
f'(x) = e^(-2x) - 2(1+x).e^(-2x) = -(1+2x).e^(-2x)
f''(x) = -2.e^(-2x) + 2(1+2x).e^(-2x) = 4x.e^(-2x)

f''(x) + a.f'(x) + b.f(x) = 0
4x.e^(-2x) - a.(1+2x).e^(-2x) + b(1+x).e^(-2x) = 0
4x - a.(1+2x) + b(1+x) = 0
x(4 - 2a + b) - a + b = 0

On a le système :
4-2a+b = 0
-a + b = 0

a = b = 4
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2)

Supposons que f^k(x), soit solution de (E), on a donc :

f^(k+2)(x) + 4.f^(k+1)(x) + 4.f^(k)(x) = 0

en dérivant, on obtient :

f^(k+3)(x) + 4.f^(k+2)(x) + 4.f^(k+1)(x) = 0

soit : (f^(k+1)(x))" + 4.(f^(k+1))' + 4.f^(k+1)(x) = 0

et donc f^(k+1)(x) est solution de (E)

Donc si f^k(x), est solution de (E), alors f^(k+1)(x) est aussi solution de (E)  (1)

On a montré que f(x) est solution de (E) et donc par (1) f'(x) est solution de (E)
Comme f'(x) est solution de (E), par (1), on a aussi que f''(x) est solution de (E)
...
Et ainsi de proche en proche, f^n(x) est solution de (E) pour tout n de N
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3)

f(x) = (1+x).e^(-2x)
Par IPP, on a : F(x) = -(1/4).(2x+3).e^(-2x) + C

F'(x) = f(x) = (1+x).e^(-2x)
F''(x) = f'(x) = -(1+2x).e^(-2x)

F''(x) + 4.F'(x) + 4F(x) =  -(1+2x).e^(-2x) + 4.(1+x).e^(-2x) + 4.(-(1/4).(2x+3).e^(-2x) + C)
F(x) est solution de (E), si on a, pour ttout x :
-(1+2x).e^(-2x) + 4.(1+x).e^(-2x) + 4.(-(1/4).(2x+3).e^(-2x) + C) = 0
e^(-2x).(-1-2x+4+4x-2x-3) + 4C = 0
4C = 0
C = 0

F(x) = -(1/4).(2x+3).e^(-2x) est la primitive de f(x) solution de (E)
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Sauf distraction ou bêtises.