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équation différentielle
Bonjour,
pouvez vous m'aider à comprendre cet exercice?
La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100°C. Elle conseille à
son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne passe brûler, et de laisser le plat se refroidir
dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20 °C.
Théo lui rétorque que quand il sera à 37 °C il pourra le toucher sans risque; et sa grand-
mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela.
La température du plat est donnée par une fonction g, du temps t, exprimé en minutes,
qui est solution de l'équation différentielle :
(E) y'+ 0,04y= 0,8
1. Résoudre l'équation différentielle et donner la solution qui vérifie la condition initiale
g(0)=100
on a donc y'=-0,04y+0,8
comment poursuivre?
2. En utilisant l'expression de g(t) trouvée :
a. La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37°C ?
b. Quelle est la valeur exacte du temps nécessairepour obtenir cette température ?
En donner une valeur arrondie à la seconde près
.
1) Solution générale = solution homogène (sans second membre/second membre = 0 si tu préfères) + solution particulière (avec second membre)
(E) : y(t)'+ 0,04y(t) = 0,8
--------
Recherchons une solution à l'équation homogène de (E) que l'on appelle (E0):
(E0) : y(t)' + 0.04y(t) = 0
Ici, c'est une équation différentielle du premier ordre à coefficient constant (car 0.04 est constant/est indépendant d'une quelconque variable).
Soit (S0) l'ensemble des solutions homogènes yh de (E0):
(S0) = {yh : t 
e-0.04t,
}
--------
Recherchons maintenant une solution particulière de (E) qu'on nomme yp :
(E) : y(t)'+ 0,04y(t) = 0,8
Le second membre est constant, donc, réflexe : la solution particulière est constante.
yp(t)= 0.8/0.04 = 20
Donc, l'ensemble des solutions générales (S) est :
(S) = {y : t e-0.04t + 20,}
Cherchons à l'aide des conditions initiales :
y(0) = 100
e-0.04*0 + 20 = 100
= 80*e0 = 80
donc la solution à ce problème de Cauchy est : y : t 80e-0.04t + 20
Je pense que la question coule de source,suffit d'injecter t (en secondes) dans la solution et tu auras la température à "t = 30 min" (à convertir en secondes)
N.B : remplaces tout les y par des g car l'énoncé indique une fonction g et non une fonction y !
Je ne pensais pas que les équations différentielles étaient au programme de Tle ^^
yp(t)= 0.8/0.04 = 20
qu'est devenu le y(t)'?
désolé je travaille seul sans aller au lycée et ce chapitre est complètement indigeste pour moi
Salut,
On cherche une sol part de (E) : y(t)'+ 0,04y(t) = 0,8 , et on la cherche sous la forme d'une cste : yp(t) = k donc y'p(t) = 0
donc y(t)'+ 0,04y(t) = 0,8 devient 0,04y(t) = 0,8
Merci faudra que j'en refasse d'autres!!!
"suffit d'injecter t (en secondes) "??
"La température est donnée par 1 fonction g du temps t exprimé en mn"
Je ne calcule pas g(30)?
Je suppose que non car j'ai trouvé 6,024
En effet, g doit être calculé avec t en minutes, autant pour moi (l'habitude de mettre les unités dans le SI ._." ), ton résultat est bizarre mais ca correspond à ce qui est demandé, comme tu l'as dis.
ne serait-ce pas plutot :
Je trouve alors environ 44°C
Pourquoi as-tu 20 en facteur de l'exponentielle pour effectuer le calcul ? Où s'est barré le "+20" juste après ?
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