Tu es dans le cas ou le discriminant vaut 0, les solutions de l'équation homogène sont de la forme (Ax+B)e^2x.

Pour une solution particulière, pose y = (ax²+bx+c)e^x, remplace dans l'équa dif et identifie.

Comment trouver la solution particulière ?! qu'est ce que je dois remplacer ?

Une solution particulière est y = (ax²+bx+c)e^x ... dans laquelle, il faut trouver des valeurs adéquates pour a, b et c.
---

y = (ax²+bx+c)e^x

y' = e^x(ax²+bx+c+2ax+b)

y'' = ...


Remettre les résultats précédents dans y"-4y'+4y

et puis "comparer" à (x²+1)e^x

Tu pourras ainsi trouver les valeurs de a, b et c ...

Avec la forme de y que je t'ai donnée, calcule y' et y'' puis tu remplaces tout ça dans (E). Ça te donnera une expression du type P(x)e^x avec P(x) polynôme qui dépend de a, b et c. Or P(x)=x²+1, d'où les valeurs de a, b et c.

tu as la forme de la solution particulière : y = (a x ² + b x + c) e ^x, calcule y' et y" et remplace dans l'équation différentielle :
y' = (a x ² + (2 a + b) x + b + c) e ^x,
y" = (a x ² + (4 a + b) x + 2 a + 2 b + c) e ^x,
tu remplaces dans l'équation :
y" - 4 y' + 4 y = [(a x ² + (4 a + b) x + 2 a + 2 b + c) - 4 (a x ² + (2 a + b) x + b + c) + 4 ((a x ² + b x + c) )) e ^x
y" - 4 y' + 4 y = (a x ² + (4 a + b - 8 a - 4 b + 4 b) x +  2 a + 2 b + c - 4 b - 4 c + 4 c) e ^x

y" - 4 y' + 4 y = (a x ² + (- 4 a + b) x +  2 a - 2 b + c) e ^x
y est solution particulière donc pour tout x réel, (a x ² + (- 4 a + b) x +  2 a - 2 b + c) e ^x = (x ² + 1) e ^x
donc a = 1, - 4 a + b = 0 et 2 a - 2 b + c = 1
d'où a, b, c (à une erreur de calcul près)

ouii merciii , mais voila j'ai trouvé les valeurs de a,b,c , la solution finale de l'equation est ?

La solution générale s'obtient en ajoutant à la solution particulière que tu viens de trouver toutes les solutions de l'équation homogène que tu as commencée par résoudre et dont les solutions dépendent de 2 paramètres arbitraires.

Salut,

Tu as déjà résolu une équation différentielle ?
Parce que ta dernière question est limite effrayante o_o

T'as une solution générale pour l'équation homogène et une solution particulière.... Il suffit de faire la somme des deux pour obtenir les solutions.