Bonjour,

rude cette année le Tale au Groenland !

y = C.e^2x -x-1  est solution

y'=2y+2x+1

y'-2y = 2x+1

1)
Solutions de y'-2y = 0 :
y = C.e^(2x)

2)
Solution particulière de y'-2y = 2x+1

y = Ax + B
y' = A

y' - 2y = A - 2Ax - 2B
y' - 2y = -2Ax + A - 2B
à comparer à y'-2y = 2x+1 ---> le système :

-2A = 2
A-2B = 1

Qui résolut donne A = -1 et B = -1
---> y = -x - 1 est une solution particulière de y'-2y = 2x+1

3)
Solutions générales de y'-2y = 2x+1 :

y = -x - 1 + C.e^(2x)
Avec C une constante réelle.
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Recopier sans comprendre est inutile.

je n'ai pas compris, pourriez vous s'il vous plait m'expliquer ?

Tu n'as pas compris quoi ?

Si c'est d'où sort la forme de la solution particulière, on peut faire autrement.
Par la méthode de variation de la constante ... mais qui est plus lourde ici.

Voila par cette méthode :

Solution particulière de y'-2y = 2x+1

Par variation de la constante : (ayant trouvé pour commencer que les solutions de l'équation avec second membre = 0 étaient y = K.e^(2x), on remplave la constante K par une fonction f (de x))...

y = f.e^(2x)
y' = f'.e^(2x) + 2f.e^(2x)

y'-2y = f'.e^(2x) + 2f.e^(2x) - 2f.e^(2x)
y'-2y = f'.e^(2x)

A comparer avec y'-2y = 2x+1

---> f'.e^(2x) = 2x+1

f' = (2x+1).e^(-2x)
f = S (2x+1).e^(-2x) dx

IPP:
Poser (2x+1) = u ---> du = 2 dx
et poser e^(-2x) dx = dv ---> v = -(1/2).e^(-2x)

S (2x+1).e^(-2x) dx = -(1/2).(2x+1).e^(-2x) - 2 * (-1/2) S e^(-2x) dx
S (2x+1).e^(-2x) dx = -(1/2).(2x+1).e^(-2x) + S e^(-2x) dx
S (2x+1).e^(-2x) dx = -(1/2).(2x+1).e^(-2x) -(1/2) e^(-2x)

y = f.e^(2x)
y = -(1/2).(2x+1) -(1/2)
y = -x - 1

y = -x - 1 est une solution particulière de y'-2y = 2x+1
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