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Equation différentielle
Bonjour à toutes et à tous !
Je me tourne vers vous aujourd'hui dans le but de solliciter votre aide concernant mon DM de maths (Term STI2D). Tout d'abord, le sujet:
On note (E) l'équation différentielle: y'-21y=2xe21x et (E') l'équation différentielle: y'-21y=0.
1) Soit f une fonction définie sur R. On pose g la fonction définie pour tout réel x par g(x)=f(x)-x2e21x
Montrer que f est solution de (E) si et seulement si g est solution de (E').
2) Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E).
Voila, je noterais la suite des questions plus tard, car pour l'instant je suis bloqué à la première.
Pour l'instant, j'ai eut le raisonnement suivant:
On a (E) et (E'), et g(x).
On doit montrer que:
f est solution de (E)
<=>g est solution de (E')
Donc si f est solution de (E):
g'(x)=f'(x)-2x(e21x)+x2(21e21x) (En prenant du u*v pour dériver le x2e21x)
Déjà, premier problème: comment simplifier cela ?
Ensuite, comment continuer ? Le prof nous a fait un exo du même genre mais je ne parviens pas à faire le rapprochement, ni même à trouver une logique...
Pensez-vous pouvoir m'éclairer ? Merci à l'avance,
Brandon.
1. Au lieu de partir de g, il aurait été plus simple de partir de f
f est solution de (E) 
f ' (x) - 21 f(x) =2 x e 21
or f(x) = g(x) + x 2 e 21 x et f ' (x) = g'(x) + 2 x e 21 x + 21 x 2 e 21 x
f est solution de (E) g'(x) + 2 x e 21 x + 21 x 2 e 21 x - 21 ( g(x) + x 2 e 21 x) = 2 x e 21 x
f est solution de (E) g'(x) + 2 x e 21 x + 21 x 2 e 21 x - 21 g(x) - 21 x 2 e 21 x = 2 x e 21 x
f est solution de (E) g'(x) - 21 g(x) = 0 g est solution de (E').
2. Les solutions de (E') sont les fonction de la forme y(x) = C e 21 x
f est solution de (E) g est solution de (E') g(x) = C e 21 x f(x) = C e 21 x + x 2 e 21 x
Salut !
Merci beaucoup pour ton aide, tu m'as permis de bien avancer 
Je rajoute la suite des questions:
3. Déterminer la solution f de (E) vérifiant f(0)=-1848/441
4.a) Etablir la limite de f en +
b) On admet que lim f(x)=0. Que peut-on en déduire pour la courbe de f ?
x->-
5. Etablir le tableau de variation de f sur R.
6. Soit F la fonction définie sur R par F(x)=(441x2-42x-1846)/(9261)e21x
a) Montrer que F est une primitive de f.
b) En déduire la valeur moyenne de f sur [0;43/21].
Voilà pour les questions, désolé mais je ne parvient pas à faire les fractions :/
Donc, voici ce que j'ai déjà fait:
Pour la 3
Si f(0)=-1848/441
E f(x)=Ce21x+x2e21x
<=> Ce21*0+02e21*0=-1848/441
<=> C*1+0*1=-1848/441
<=> C=-1848/441 Donc on a f(x)=-1848/441e21x+x2e21x
Pour la 4.a)
f(x)=-1848/441e21x+x2e21x
lim -1848/441e21x+x2e21x =-(+)+=-
x->+
Pour la 4.b)
lim f(x)=0 signifie que notre courbe, lorsqu'elle tendra vers -, sera égale à 0.
Pour la 5
| x | - 0 + |
| f(x) |  décroissante croissante
f(0) |
Pour la 6
Et là, ça bloque... Comment puis-je faire ? Je pense qu'on devrais dériver F afin de retomber sur f, mais de quelle façon ? En faisant du type u*v, mais comment dériver la partie de gauche avec la fraction ? :/
Merci beaucoup,
Brandon.
Ta limite en + , ne convient pas : tu as une forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination, mets en facteur l'exponentielle.
4. b. Donc la droite d'équation y = 0 est asymptote en - à la courbe de f.
Ton tableau de variation ne convient pas, il te faut l e signe de la dérivée
Il te faut donc maintenant chercher le signe de - 88 + 2 x + 21 x 2
donc 
etc.
l'expression s'annule en 2 et en - 44/21 d'où le signe de la dérivée.
Pour la 6. tu dérives F et tu dois trouver f
4.a) D'accord, la factorisation me donne:
e21x((-1841/441)+x2)
4.b) Et la limite devient donc + si je ne me trompe pas ?
5) Ok j'ai refais le tableau: calcul de la dérivée, passage du second degré avec delta etc... et je trouve cela:
| x | - 2 -44/21 + |
| e21x | + + + |
| 21x2+2x-88 | |
| f'(x) | |
| f(x) | croissante décroissante croissante |
6) Oui c'est ce que j'essaie de faire mais je ne parvient pas a dériver le (441x2-42x-1846)/9261... Faire du u*v avec l'exponentielle est la bonne solution ? :/
4.a) D'accord, la factorisation me donne:
e21x((-1841/441)+x2)
4.b) Et la limite devient donc + si je ne me trompe pas ?
5) Ok j'ai refais le tableau: calcul de la dérivée, passage du second degré avec delta etc... et je trouve cela:
| x | - 2 -44/21 + |
| e21x | + + + |
| 21x2+2x-88 | + - + |
| f'(x) | + - + |
| f(x) | croissante f(2) décroissante f(-44/21) croissante |
6) Oui c'est ce que j'essaie de faire mais je ne parvient pas a dériver le (441x2-42x-1846)/9261... Faire du u*v avec l'exponentielle est la bonne solution ? :/
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