Bonjour,

Le principe est toujours le même : si le second membre n'est pas une solution particulière de l'équation sans second membre, alors il faut chercher une solution particulière de la forme (A cos(x)+B sin(x))e^x.

le problème c'est que ce n'est pas la méthode que mon professeur utilise...
Il passe par les formule d'Euler donc j'ai décomposé
y"-2y'+2y=e(x)*cos(x) en
y"-2y'+2y=e(x) (où j'ai trouvé y=e(x)) puis
y"-2y'+2y=cos(x)=(1/2)(e(ix)+e(-ix))
et là je me retrouve avec à la fin :
(1/2)((1-2i)/5)e(-ix)+(1/2)((1+2i)/5)e(ix)
et je n'arrive pas à simplifier quoi que se soit...

Bonjour,

De toute façon, la méthode que je propose ne marche pas car, effectivement, e^xcos(x) est une solution de l'équation sans second membre.

J'ai oublié comment on pouvait faire avec les formules d'Euler

Par contre, j'ai trouvé une solution particulière de la forme y_p=x(A cos x+ B sin x)e^x , mais les calculs sont un peu longs ...

Pour les formules d'euler on décompose:
y"-2y'+2y=cos(x)=(1/2)(e(ix)+e(-ix))
en
(E1) y"-2y'+2y=e(ix)
(E2) y"-2y'+2y=e(-ix)
on trouve la solution particulière, on les additionne et on multiplie par (1/2) ici...
donc j'ai trouvé pour (E1) (1+2i)/5 et pour (E2) (1-2i)/5
donc y1=((1+2i)/5)e(ix) et y2=((1-2i)/5)e(-ix)
puis j'ai multiplié par (1/2) et j'ai additionné y=(1/2)((1-2i)/5)e(-ix)+(1/2)((1+2i)/5)e(ix)
normalement on retrouve des membres de la forme (1/2)(e(ix)+e(-ix)) ou (1/2i)(e(ix)-e(-ix))
sauf que la si je regroupe les termes j'obtiens:
(1/2)((1/5)e(ix)+(1/5)e(-ix))+(1/2)((2i/5)e(ix)-(2i/5)e(-ix))
=(1/5)cos(x)+(1/2)((2i/5)e(ix)-(2i/5)e(-ix))
mais je ne vois pas comment simplifier la deuxième partie et trouver comme solution :
(1/2)(xsin(x)+cos(x)) (solution donnée par le professeur)

Je ne trouve pas la même solution particulière avec ma méthode, mais c'est normal. La mienne est :

y_p=[(x/2)sin(x)]e^x.

Je n'ai pas vérifié, mais je suis surpris que celle que tu as donnée marche : il ne manque pas le facteur e^x ?

la solution est exactement :
(1/2)(xsin(x)+cos(x))*e(x)
mais je parlais de la solution avec la méthode d'euler.