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Equation differentielle de premier ordre niveau licence Bio
Bonjour a tous j'suis en licence biologie et je passe les ratrapages en septembre et je repasse les maths, matiére qui ne me plait pas vraiment.
voila cet exercice j'ai la correction mais juste les réponses moi j'ai besoin de comprendre comment on arrive à ca.
L'exercice est assez long désolé d'avance et merci d'avance aux courageux qui m'aideront
Un réservoir contient initialement K grammes de sel dissout dans 80 litres
d'eau. On y introduit une solution salée à 1 gramme de sel par litre à la vitesse
de 6 litres par minute. Afin de maintenir le volume du liquide constant, le
mélange s'écoule du réservoir par un orifice.
1. Soit m(t) la masse de sel à l'instant t et C(t) = m(t)/80 la concentration
de sel en gramme par litre à l'instant t. Expliquer pourquoi l'on a
m(t + h) = m(t) + 6h − 6hC(t) (1)
pour tout h > 0 assez proche de t.
2. En déduire que m(t) satisfait l'équation différentielle
m0(t) = 6 − 6 m(t)/80, (2)
pour tout t
0.
3. Montrer que la fonction constante m(t) = 80, pour tout t 0, est solution
de l'équation (2).
4. On suppose que K = m(0) > 80. Montrer que m(t) > 80 pour tout t 0 (On admettra que les graphes de deux solutions distinctes de (2) ne se coupent jamais).
4.1. Déduire de l'équation différentielle (2) que la fonction m(t) est décroissante
pour tout t 0.
4.2 En déduire que lim t
+
m(t) = l existe. On admet que dans ce cas on a
limt+ m'(t) = 0. En déduire de l'équation différentielle (2) que l = 80.
5. On suppose que 0 < K < 80. Montrer que m(t) < 80 pour tout t0 (On
admettra que les graphes de deux solutions distinctes de (2) ne se coupent
jamais).
5.1. Déduire de l'équation différentielle (2) que la fonction m(t) est croissante
pour tout t 0.
5.2 En déduire que lim t+m(t) = l existe. On admet que dans ce cas on a
lim t+1m'(t) = 0. En déduire de l'équation différentielle (2) que l = 80.
6. Est-il raisonnable d'attendre que le sel disparaisse au bout d'un temps
assez long ?
7. On considère la fonction
m(t) = (K − 80)e(− 6/80 t) + 80 (3)
pour tout t 0. Montrer que m(t) est solution de l'équation (2).
8. Retrouver les résultats 4.2 et 5.2 en utilisant (3)
Bonsoir
Pour la première question :
-- Pendant une durée h (en minutes) on ajoute 6 fois h litres de solution à 1 gramme par litre et on enlève 6 fois h litres du mélange.
-- On peut penser que, si h est assez proche de 0, et non de t comme tu l'écris par erreur, les deux solutions n'ont pas le temps de se mélanger.
-- On ajoute donc 6g de sel par litre entré dans le réservoir, ce qui fait 6h grammes.
-- Il y a gramme par litre dans la solution, on élimine 6h litres de solution soit 6h C(t) grammes de sel.
En faisant le bilan on trouve bien
Pour la deuxième question :
La dérivée de en
est la limite quand
tend vers zéro de
par définition.
Comme, pour petit, on a
d'après la question 1 on déduit
pour
petit.
Et donc, à la limite, .
Je m'arrête là pour l'instant.
En ajoutant que ce que j'ai écrit n'est pas une rédaction correcte de la solution, mais une tentative d'explication.
Je suppose que ton corrigé te donne une rédaction correcte.
Pour la suite, si d'autres explications informelles te semblent utiles, réponds, je suis là ce soir.
A+
Tout d'abord merci a toi pour ces quelques explications.
La premiére c'est ok pour moi, j'ai bien compris ce qu'on ajoute, ce qui s'écoule
Mais sur mon ennoncé il est bien écris que h est plus grand que 0 et assez proche de t, et je l'ai compris dans le fait que si h et t sont proches alors la solution se mélange, la vitesse a laquelle s'ajoute la concentration salé est peut être justement faite pour que la solution se mélange.
pour la deuxiéme c'est d'accord pour moi.
La troisiéme il suffit juste de remplacé dans m'(t)=6-6m(t)/80=0 donc c'est une solution de l'équation.
Maintenant tu pourrais m'expliqué la quatriéme question je comprends pas le principe des 2 solutions qui ne se coupent pas, c'est totalement abstrait pour moi.
Merci encore
Bonsoir
Pour la première question c'est qui est assez proche de
. Donc
est assez proche de zéro. Ceci étant dit, je connais assez bien mes collègues de bio pour les savoir, malheureusement, capables d'écrire n'importe quoi (en mathématique).
Pour la quatrième question :
Le fait que deux courbes solutions ne se coupent pas est un théorème très important.
Pour donner une idée de la démonstration :
À chaque point du plan de coordonnées est associée une valeur de la dérivée, pente de la tangente, définie par
. Si deux courbes se coupent on a deux tangentes différentes ce qui veut dire que
prend deux valeurs différentes pour la même valeur de
. Or c'est absurde, donc deux courbes solutions ne peuvent pas se couper.
En particulier on ne peut pas avoir si
et on a donc
quelque soit
. Or
. Or on sait que
et donc que
d'où
et
donc (dérivée négative) la fonction
est décroissante.
Pour la question 4.2. la fonction est décroissante et minorée (c.à.d.
.
Elle admet donc une limite (demande pour une idée de démonstration).
Comme on a dans ce cas on peut en déduire que
à la limite et donc que
Merci pour ta patiente, j'ai compris le principal aprés ça j'ai fait la suite sans m'aidé de mon corrigé (yes !!)
j'ai mon exam que je vais refaire si j'ai un p'tit soucis j'espére pouvoir compté sur toi.
Au niveau de la démonstration tout de même tu pourrai me donné quelques idée.
Encore merci a toi!!
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