faut résoudre l'équation caractéristique : (où tu remplace y par 1, y' par r et y'' par r²)
r²-2r-8 = 0
delta = 4 + 32 = 36 = 6²
r0 = (2+6) /2 = 4
r1 = (2-6) /2 = -2

Donc la solution générale est (dapres ton cours ) :
y (x) = A* exp(4*x) + B* exp(-2*x).

Apres faut déterminer A et B. Tu fais ca grace aux conditions intiales ( f(0) = 0 et f'(0)=1).
A + B =0 (en remplacant x par 0 dans la solution).
y'(x) = 4*A*exp(4x) - 2*B*exp(-2x)
y'(0) = 1 4A-2B=1

avec ces deux equations tu trouves : A = 1/6 et B=-1/6.

La solution UNIQUE est donc :
y_s(x) = 1/6* exp(4*x) -1/6* exp(-2*x).

voila (sauf erreur de calcul ...)